算法设计与分析 第八周 最大矩形

---

1.题目描述

---

2.选题原因

本周学习了动态规划的相关知识，对于动态规划有了一定的了解，因此选择了一道动态规划的题目，加深自己对于动态规划相关算法的理解。

---

3.题目分析及算法

3.1分析

这道题如果按照正常的思路走的话，无非就是从最边角的点开始遍历，每次遍历的一个点，再以这个点开始向两边查找，直到遇到0，说明矩形终止，最后比较矩形，得到矩形的大小。
让我们简单的看一下这样的思路下的算法：

---

3.2算法1.0

初始化最大矩阵：Max = 0；
遍历矩阵中的所有点
对每一个点(a, b)：

• 以此为起点，开始向右，向下遍历，遇到0则停下；记遍历行为x，列为y。最后的矩形为：(y - b) * (x - a)。
  下面我们来分析一下，很显然，这种方法需要的时间复杂度非常大：对于每一个点，需要的复杂度为从当前到最低端（最差情况），复杂度应该是O(n^3)，显然是我们不能够接受的。
  那么我们有什么方法可以改进呢？

---

3.2直方图算法

考虑一个直方图
如果我们有一个直方图，以这个直方图为基础，找直方图的最大矩形是否好找呢？是非常好找的。我们只需要依次比较即可。那么我们现在要做的就是如何将这个01矩阵转化为直方图。
其实，画直方图也很好实现，考虑直方图的特性：就是相邻的1竖着垒起来。对任意一个点来说，自己的值一定是自己头顶的元素值+1（自己是0的时候除外）
如何实现呢？
从每一行开始计算，将以上的数据承载在本行，举一个简单的例子：
该元素为3，则证明头上有2个1，如果元素为1，则证明头顶是0，如果该元素是0呢，证明头顶是0，自己也是0。
这样，在每一行都找寻一遍最大元素，并不断地更新最大值，即可得到。
那么还有一个重要的问题，就是怎么求一个直方图中的最大值？一个比较普遍的解法就是剪枝法，就不赘述了，主要的思路就是每求一个点，都用这个点和之前的结果去比较，如果不会比之前更大，那么也不用接着后面的计算，直接跳过即可。
我们的算法可以进一步改进：

---

3.3算法3.2

维护数组直方图，初始化为第一行的元素队列；
以行为单位开始遍历：对于每一行：

• 遍历每一个元素，若该元素为0，则直方图的该位置为0，否则为直方图该位置元素数值+1
• 用这一行里最大的矩阵大小与维护值比较，取大的数。

---

3.4小例子

我们用一个简单的小例子来解释一下这个算法：

  ["1","0","1","0","0"],
  ["1","0","1","1","1"],
  ["1","1","1","1","1"],
  ["1","0","0","1","0"]

对于这样的一个矩阵我们维护的直方图应该是怎么样的呢？
第一行1, 0, 1, 0, 0
第二行2, 0, 2, 1, 1
第三行3, 1, 3, 2, 2
第四行4, 0, 0, 3, 0

---

4.关键代码

4.1构建直方图

        int max = 0;
        int row = matrix.size();
        int col = matrix[0].size();
        vector height(col + 1, 0);
        //从每一行开始遍历
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            stack s;                   //维护当前最高的方块的位置
            for (int j = 0; j < col + 1; ++j) {
                if (j < col) {
                    height[j] = matrix[i][j] == '1' ? height[j] + 1 : 0;
                }

4.2剪枝比较

                //运用剪枝的方法，每得到一个点，就求到目前的最大值
                //如果没有最大的点大，那么可以减去
                while (!s.empty() && height[s.top()] >= height[j]) {
                    int cur = s.top();
                    s.pop();
                    //比较到当前点和维护的最大解
                    int temp_max = height[cur] * (s.empty() ? j : (j - s.top() - 1));
                    max = max >  temp_max? max :temp_max;
                }
                s.push(j);

---

5.结果

---

6.源代码

class Solution {
public:
    int maximalRectangle(vector>& matrix) {
        //去除空矩阵
        if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) {
            return 0;
        }
        int max = 0;
        int row = matrix.size();
        int col = matrix[0].size();
        vector height(col + 1, 0);
        //从每一行开始遍历
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            stack s;                   //维护当前最高的方块的位置
            for (int j = 0; j < col + 1; ++j) {
                if (j < col) {
                    height[j] = matrix[i][j] == '1' ? height[j] + 1 : 0;
                }
                //运用剪枝的方法，每得到一个点，就求到目前的最大值
                //如果没有最大的点大，那么可以减去
                while (!s.empty() && height[s.top()] >= height[j]) {
                    int cur = s.top();
                    s.pop();
                    //比较到当前点和维护的最大解
                    int temp_max = height[cur] * (s.empty() ? j : (j - s.top() - 1));
                    max = max >  temp_max? max :temp_max;
                }
                s.push(j);
            }
        }
        return max;
    }
};