【概率与期望】【骗分】观光铁路

问题描述
　　跳蚤国正在大力发展旅游业，每个城市都被打造成了旅游景点。
　　许多跳蚤想去其他城市旅游，但是由于跳得比较慢，它们的愿望难以实现。这时，小C听说有一种叫做火车的交通工具，在铁路上跑得很快，便抓住了商机，创立了一家铁路公司，向跳蚤国王请示在每两个城市之间都修建铁路。
　　然而，由于小C不会扳道岔，火车到一个城市以后只能保证不原路返回，而会随机等概率地驶向与这个城市有铁路连接的另外一个城市。
　　跳蚤国王向广大居民征求意见，结果跳蚤们不太满意，因为这样修建铁路以后有可能只游览了3个城市（含出发的城市）以后就回来了，它们希望能多游览几个城市。于是跳蚤国王要求小C提供一个方案，使得每只跳蚤坐上火车后能多游览几个城市才回来。

小C提供了一种方案给跳蚤国王。跳蚤国王想知道这个方案中每个城市的居民旅游的期望时间（设火车经过每段铁路的时间都为1），请你来帮跳蚤国王。
输入格式
　　输入的第一行包含两个正整数n、m，其中n表示城市的数量，m表示方案中的铁路条数。
　　接下来m行，每行包含两个正整数u、v，表示方案中城市u和城市v之间有一条铁路。
　　保证方案中无重边无自环，每两个城市之间都能经过铁路直接或间接到达，且火车由任意一条铁路到任意一个城市以后一定有路可走。
输出格式
　　输出n行，第i行包含一个实数tBi，表示方案B中城市i的居民旅游的期望时间。你应当输出足够多的小数位数，以保证输出的值和真实值之间的绝对或相对误差不超过1e-9。

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 是我错了，之前一直觉得蓝桥杯都是水题居多。这两天突然想刷一刷题库，然后就碰到了难题，这个就是其中一道比较变态的。
 首先我不是正解，但是网上一直查不到正解。能找到的只有这一篇：
  https://blog.csdn.net/weixin_40839812/article/details/79769757
 没有很搞明白，而且我觉得作者其实没考虑到不能返回的条件，又没有提供代码，因此不太确定正确性。以后慢慢研究。
 没有别的想法的话就先打打暴力，求期望先求概率，因为不能返回，所以某个时间下概率应该是二维的才能递推，以起点为1为例子，我们需要求出在第T步，从节点j到节点i的事件发生的概率$pb[T][i][j]$（其中i不等于起点1），这个好办，从T-1步按部就班推出第T步就行了，再找找第T步回到起点1的概率$\sum \frac{pb[T-1][i][j]}{d[i]-1}$（i与1联通而j不等于i），把这个数值乘上T，累加上答案就行了，只要枚举到足够大的T，答案就无限逼近与真实期望。
 出于精确性的考虑，有人会问，T如果越大，累加上的数值就会非常小吗？我没法子证明收敛速度，但是感觉上概率的减小的速度会远大于T增加的速度，因此收敛得还是比较快速的。
 于是尝试了第一次暴力，就是上面的思路

#include
#include
using namespace std;

double ans,pb[2][25][25];
vector<int> E[25];
int n,m,o;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),E[u].push_back(v),E[v].push_back(u);
	for(int p=1;p<=n;p++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				pb[0][i][j]=0;
		for(int q=0;q<E[p].size();q++)
			pb[0][E[p][q]][p]=1.0/E[p].size();
		ans=o=0;
		for(int t=1;t<=300;t++)  //这个t是T-1
		{
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=n;j++)
					pb[o^1][i][j]=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=n;j++)
					for(int k=0;k<E[i].size();k++)
						if(E[i][k]!=j)
							if(E[i][k]!=p)
								pb[o^1][E[i][k]][i]+=pb[o][i][j]/(E[i].size()-1);
							else
								ans+=(t+1)*pb[o][i][j]/(E[i].size()-1);			
			o^=1;
		}
		printf("%.12lf\n",ans);
	}
	return 0;
}

 因为剩余的最差循环是$n^4$的效率，所以时间枚举到300就不行了。只得了5分，一个原因是精确度确实没我想象得高，另一个是因为蓝桥没有使用SPJ（我的天哪），也就是无形增加了题目难度，我需要让十二位小数完全一致。
 不过呢，说到骗分我还是极其在行的。首先，double统统搞成long double。其次如果n比较小，那么我们可以适当增大T，更精确。另外，直觉告诉我，T很大的时候，概率pb数组之间的相对大小可能会达到某种稳定状态，也就意味着每次回到起点的概率，在T较大的时候可能会是一个无穷等比递缩数列。经过程序验证，我的想法达到了证实。那么，如果得知这个数列的公比v，那么在枚举完之后，我用级数求和的方式去补足我少加的部分，精确度会大大提高。（忽然想到刘徽在求出3.14之后用类似的补足法搞出了3.1416 QwQ）
 假设我的t枚举到了$lim$(也就是T=lim+1)，第lim步的增量为a，我用$lim$和$lim-1$两步的回到原点的概率比作为公比v，然后，我们要求的是$\sum a\ast v\ast T+a\ast v^2\ast (T+1)\dots \dots$，这个用错位相减法或者积分法来求，没啥大问题。
 经过实践发现效果出奇好。
 改进后的暴力：

#include
#include
using namespace std;

int lim;

long double ans,pb[2][25][25],ty,tx;
vector<int> E[25];
int n,m,o;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),E[u].push_back(v),E[v].push_back(u);
	lim=60000000/n/n/n/n;
	for(int p=1;p<=n;p++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				pb[0][i][j]=0;
		for(int q=0;q<E[p].size();q++)
			pb[0][E[p][q]][p]=1.0L/E[p].size();
		tx=ty=ans=o=0;
		for(int t=1;t<=lim;t++)
		{
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=n;j++)
					pb[o^1][i][j]=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=n;j++)
					for(int k=0;k<E[i].size();k++)
						if(E[i][k]!=j)
							if(E[i][k]!=p)
								pb[o^1][E[i][k]][i]+=pb[o][i][j]/(E[i].size()-1);
							else
							{
								ans+=(t+1)*pb[o][i][j]/(E[i].size()-1);
								if(t==lim-1)
									tx+=pb[o][i][j]/(E[i].size()-1);
								else if(t==lim)
									ty+=pb[o][i][j]/(E[i].size()-1);
							}
			o^=1;	
		}
		long double v=0;
		int cnt=0;
		if(tx>0)
			v=ty/tx;
		printf("%.12Lf\n",ans+ty*(lim*v+(2*v-v*v)/(1-v))/(1-v));
	}
	return 0;
}

 拿了62分，没有办法再改进了，真不知道剩下的是什么奇怪的数据。个人觉得如果上SPJ还是有AC的机会的。就这样吧，要求憋太高了，另外期待正解。