(转载)约瑟夫环——公式法(递推公式)

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约瑟夫问题

约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

• 首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
• 然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
• C接着从1开始报数
• 接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
• 最终胜利者是C

解决方案

普通解法

刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。

缺点：

要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

公式法

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。

递推公式：
$$f(N,M)=(f(N-1,M)+M)\%N$$

• $f(N,M)$表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
• $f(N-1,M)$表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号

下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。
$$1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11$$

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

• 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
• 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
• 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
• ……
• 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
• 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
• 最后的胜利者是编号为7的人。

下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）

现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

• $f(1,3)$：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
• $f(2,3)=(f(1,3)+3)\%2=3\%2=1$：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
• $f(3,3)=(f(2,3)+3)\%3=4\%3=1$：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
• $f(4,3)=(f(3,3)+3)\%4=4\%4=0$：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
• ……
• $f(11,3)=6$

很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。

问题1：假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2：假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那上一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以$f(11,3)=f(10,3)+3$。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，$f(11,3)=（f(10,3)+3)\%11$

注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1

下面给出代码实现：

int cir(int n,int m)
{//n个人, 报到m的人出局, 返回幸存者在最初队伍中的位置
	int p=0;//幸存者的位置
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		p=(p+m)%i;
	}
	return p+1;
}

Cqh_i补充

如果要模拟出列顺序, 怎么办?

可以使用LinkedList 来模拟, 因为LinkedList插入删除效率比ArrayList高。

public static void cir(int n, int m) {

    LinkedList<Integer> linkedList = new LinkedList<Integer>();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        linkedList.add(i);
    }

    int index = m - 1; // 初始化，index指向第一个出列的人, 因为linkedListed是从下标0开始, 所以要减1
    while (linkedList.size() != 0) {
        System.out.println("幸存者队列" + linkedList);
        // 用索引 % 链表长度进行取余操作，避免下标越界
        index = index % linkedList.size();

        // 出列
        System.out.println(linkedList.get(index) + "号出列");
        linkedList.remove(index);

        // 新的索引就要从出列的人重新开始数，再次数到m-1。
        index += m - 1;
    }
}

运行结果:

幸存者队列[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
3号出列
幸存者队列[1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
6号出列
幸存者队列[1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11]
9号出列
幸存者队列[1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11]
1号出列
幸存者队列[2, 4, 5, 7, 8, 10, 11]
5号出列
幸存者队列[2, 4, 7, 8, 10, 11]
10号出列
幸存者队列[2, 4, 7, 8, 11]
4号出列
幸存者队列[2, 7, 8, 11]
11号出列
幸存者队列[2, 7, 8]
8号出列
幸存者队列[2, 7]
2号出列
幸存者队列[7]
7号出列