[Min-Max 容斥] LOJ#2542. 「PKUWC 2018」随机游走

这题我原来使用 O(2nn3) O ( 2 n n 3 ) 暴力过的…跑的还贼快

可以用Min-Max 容斥

设 Max(S) M a x ( S ) 表示集合里最晚被访问的节点被访问的期望步数（也就是访问所有节点的期望步数）。

设 Min(S) M i n ( S ) 表示集合里最早被访问的节点被访问的期望步数（也就是第一次访问到集合里的节点的期望步数）

那么 Max(S)=∑T∈S(−1)|T|+1Min(T) M a x ( S ) = ∑ T ∈ S ( − 1 ) | T | + 1 M i n ( T )

只要求出 Min(S) M i n ( S ) 就可以了

令 f(x,S) f ( x , S ) 表示从 x x 出发，第一次访问 S S 里的节点的期望步数。

可以推得 f(x,S)=k×f(fax,S)+b f ( x , S ) = k × f ( f a x , S ) + b 其中 k k 和 b b 是常数

然后就一遍dfs就可以了

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N=20,P=998244353;

int n,q,s,cnt,G[N],f[1<<18|5],k[N],d[N],du[N];
struct edge{
  int t,nx;
}E[N<<1];

inline void addedge(int x,int y){
  E[++cnt].t=y; E[cnt].nx=G[x]; G[x]=cnt; du[x]++;
  E[++cnt].t=x; E[cnt].nx=G[y]; G[y]=cnt; du[y]++;
}

inline int Pow(int x,int y){
  int ret=1;
  for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%P) if(y&1) ret=1LL*x*ret%P;
  return ret;
}

void dfs(int x,int f,int S){
  if(S>>(x-1)&1){ k[x]=d[x]=0; return ; }
  k[x]=d[x]=du[x];
  for(int i=G[x];i;i=E[i].nx)
    if(E[i].t!=f){
      dfs(E[i].t,x,S);
      k[x]=(k[x]-k[E[i].t])%P; d[x]=(d[x]+d[E[i].t])%P;
    }
  k[x]=Pow(k[x],P-2); d[x]=1LL*d[x]*k[x]%P;
}

int size[1<<18|5];

int main(){
#ifdef ljn
  freopen("1.in","r",stdin);
  freopen("1.out","w",stdout);
#endif
  scanf("%d%d%d",&n,&q,&s);
  for(int i=1,x,y;i"%d%d",&x,&y),addedge(x,y);
  for(int i=0;i<(1<s,0,i),f[i]=d[s],size[i]=size[i>>1]+(i&1);
  while(q--){
    int k,S=0; scanf("%d",&k);
    for(int i=1,x;i<=k;i++)
      scanf("%d",&x),S|=1<<(x-1);
    int ans=0;
    for(int i=S;i;i=(i-1)&S)
      if(size[i]&1)
    ans=(ans+f[i])%P;
      else
    ans=(ans-f[i])%P;
    printf("%d\n",(ans+P)%P);
  }
  return 0;
}