除法取模

突然想到大数取模，再一想，有点傻≡(▔﹏▔)≡。

转载自

做题时，经常要求“答案模一个数”的结果。
并且这个数往往是1000000007。
如果只有乘法和加法，那么我们对此毫无压力。
但是，除法出现时，我们往往需要用高精除法。
而费马小定理给我们带来了福音！从此，我们再不用为了区区一个模1000000007而用高精除法了。

费马小定理：若p是质数，且a、p互质，那么a^(p-1) mod p = 1。
果断忽略证明...

现在，我们要求a/c mod p，通过一系列神奇的转化，那万恶的除法就会神奇地消失...

a / c mod p
= a / c mod p * 1
= a / c mod p * c^(p-1) mod p
= a * c^(p-2) mod p

转化完毕。


当c与p不互质的时候，费马小定理就无能为力了。
其实，我们还有另一种方法。

设a / c = b，要求b mod p
a = k1*p + b1，
b = k2*p + b2，
则目标就是求b2
那么原式化为(k1*p + b1) / c = (k2*p + b2)
b2*c + p(k2*c - k1) = b1
设k2*c - k1 = x, b2 = y，那么px + cy = b1，其中p、c和b1已知，则可通过不定方程求解得到y'，调整y'使0<=y'