【JZOJ 5776】【NOIP2008模拟】小x游世界树 (树)

问题描述
小x得到了一个(不可靠的)小道消息，传说中的神岛阿瓦隆在格陵兰海的某处,据说那里埋藏着亚瑟王的宝藏，这引起了小x的好奇，但当他想前往阿瓦隆时发现那里只有圣诞节时才能到达，然而现在已经春天了，不甘心的他将自己的目的地改成了世界树，他耗费了大量的时间，终于将自己传送到了世界树下。世界树是一棵非常巨大的树，它有着许许多多的枝条以及节点，每个节点上都有一个平台。好不容易来到传说中的世界树下，小x当然要爬上去看看风景。小x每经过一条边都会耗费体力值。然而世界树之主想给他弄（gáo）些（dǐan）麻（shì）烦（qíng），于是他在每条边上都设了一个魔法阵，当小x踏上那条边时会被传送回根节点，魔法阵只生效一次。这岂不是要累死小x？幸运的是，每个平台上都有无数个加速器，这些加速器可以让小x在当前节点所连的边上耗费的体力值减少，不同平台的加速器性能不一定相同，但同一个平台的加速器性能绝对相同。世界树之主给了小x一次“换根”的机会，他可以将世界树的任何一个节点变为根，但所有的边都不能改变。小x想问你，将根换为哪个节点能使小x爬到世界树上的每个节点耗费的体力值和最少。默认编号为1的点为初始根。
输入
第一行一个数n，表示有n个节点。
第二行n个数ai，表示每个平台上的加速器的性能。
第三至n+1行，每行三个数bi,ci,di分别表示这条无向边的起点，终点与耗费的能量值
输出
第一行一个数，表示要换成的节点，如果有多个点为根时耗费的体力值都最小，则输出编号最小的那个。如果保持为1是最优的，就输出1。
第二行一个数，表示最小耗费的体力值。
样例输入
4
2 1 3 3
1 2 3
1 3 4
2 4 6
样例输出
1
9
算法讨论
40分做法：
n只有1000，所以可以用邻接表或邻接矩阵来存边，暴力枚举根节点，每次建一棵树，找出最优的，输出就行。至于答案怎么求请看下面。
我们设f[i]是以i为根的子树的消耗能量值的总和(包括i)，zs[i]是以i为根的子树的节点个数(包括i)。当我们在建树时其实就可以求出当1为根节点时的答案，因为每个节点都要走一次，我们不如求每条边走了多少次，而一条边走的次数则是由这条边链接的两个点中深度大的节点的那颗子树的节点数来决定的，设这个节点为x，因为根节点要到达这颗子树上的每一个点，那么这条边就要走zs[x]次。

很容易可以看出，根节点要到达以x为根节点的子树的每一个节点，也就是x,x1,x2和x3，要经过这条四次（已用不同颜色标出）。根据这个我们可以得知，f[i]由i的所有儿子的f值加上i与i的父亲节点fa[i]之间的那条边走的次数得出。也就是f[i]=sum（f[son[i]]）+zs[i]*(s[j]-a[fa[i]])。son[i]表示i的所有子节点，sum（f[son[i]]）就是i的子节点的f值总和，s[j]表示i与fa[i]之间的那条边的权值，a[fa[i]]表示i的父亲节点的加速器性能，因为是从上往下走，所以减的是i的父亲的加速器。当然，不同的根节点会导致某个点的父亲也有所不同，所以需要重建一棵树。
100分做法：
其实并不是每个点都要建一次树，我们可以在一个点为整棵树的根节点时，以它的答案来更新它的儿子节点的答案。

可以看出，如果将根节点的儿子换为根，会变动的只有根节点与被换的那个儿子之间的边，原来的次数=zs[4]=2，现在的次数=zs[3]（新的）=3，而且由3到4变成了由4到3。虽然改变子树的子节点数会方便一些，但可能会出一些迷之bug(相信su某感触很深)，所以最好用n-zs[4]来代表zs[3]，则新的f[4]则等于f[3]+（n-zs[4]＊(s[i]-a[4])-zs[4]＊(s[i]-a[3])，将它套进去就行。

#include 
#include 
#define MAX_N 700006
using namespace std;
struct edge
{
    int f,t,n,w;
}a[MAX_N*2];
int p[MAX_N],ls[MAX_N],fa[MAX_N],zs[MAX_N],s[MAX_N];
int n,l,Minp;
long long Min=0x7f7f7f7f7f,f[MAX_N];
bool v[MAX_N];
queue <int> q;

long long find(int root)
{
    long long ss=0;
    for (int i=ls[root];i;i=a[i].n)
        if (!v[a[i].t])
        {
            v[a[i].t]=1;
            ss+=find(a[i].t);
        }
    f[root]=ss+zs[root]*(s[root]-p[fa[root]]);
    return f[root];
}

int zss(int root)
{
    for (int i=ls[root];i;i=a[i].n)
        if (!v[a[i].t])
        {
            v[a[i].t]=1;
            zs[root]+=zss(a[i].t);
        }
    return zs[root];
}

void create()
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
        zs[i]=1;
    q.push(1); v[1]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for (int i=ls[u];i;i=a[i].n)
            if (!v[a[i].t])
            {
                fa[a[i].t]=u;
                s[a[i].t]=a[i].w;
                v[a[i].t]=1;
                q.push(a[i].t);
            }
    }
}

void work()
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=0;
    q.push(1); v[1]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for (int i=ls[u];i;i=a[i].n)
            if (!v[a[i].t])
            {
                v[a[i].t]=1;
                q.push(a[i].t);
                f[a[i].t]=f[fa[a[i].t]]+(n-zs[a[i].t])*(s[a[i].t]-p[a[i].t])-zs[a[i].t]*(s[a[i].t]-p[fa[a[i].t]]);
                if (f[a[i].t]int main()
{
    freopen("yggdrasil.in","r",stdin);
    freopen("yggdrasil.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&p[i]);
    for (int i=1;iscanf("%d%d%d",&a[l].f,&a[l].t,&a[l].w);
        a[l].n=ls[a[l].f];
        ls[a[l].f]=l;
        a[++l].f=a[l-1].t; a[l].t=a[l-1].f; a[l].w=a[l-1].w;
        a[l].n=ls[a[l].f];
        ls[a[l].f]=l;
    }
    create();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=0;
    v[1]=1; zss(1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=0;
    find(1);
    Min=f[1]; Minp=1;
    work();
    printf("%d\n%lld",Minp,Min);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
}