数论基础知识(一)

整除：设a是非零整数，b是整数。如果存在一个整数q，使得b = a * q，那么就说b可被a整除。记为a|b，即b可被a整除。

1.如果 a|b 且b|c，那么a|c。

2.a|b且a|c等价于对任意的x，y，有a|(b*x+c*y)。

3.设 m != 0，那么a|b等价于(m*a)|(m*b)。

4.设整数x和y满足：a*x + b*y = 1，且a|n，b|n，那么(a*b)|n。

证明：因为 a|n 且b|n 由性质3可得(a*b)|(b*n),(a*b)|(a*n)

再由性质2可得(a*b)|(x*a*n+y*b*n) ，即(a*b)|n。

5.若b = q*d + c，那么d|b的充要条件是d|c。

6.对于二元一次不定方程a*x + b*y = c ，a*b != 0 ,有整数解的充要条件为gcd(a,b)|c。

证明：

必要性：因为gcd(a,b)|a,gcd(a,b)|b，由性质2可得gcd(a,b)|(a*x + b*y) ，即gcd(a,b) | c。

充分性：若gcd(a,b)|c，则存在整数k，使得c = k * gcd(a,b),也必存在整数k1,k2使得a = k1*gcd(a,b)， b = k2*gcd(a,b)，即k1*gcd(a,b) + k2*gcd(a,b) = k*gcd(a,b)，自然必存在整数k1，k2，k，使得k1 + k2 = k，即存在整数解。

设x0，y0为该方程的一组整数解，则方程所有整数解可表示为：x = x0 + b/gcd(a,b)，y = y0 - a/gcd(a,b)。

推论：若gcd(a,b) = 1，则方程必有整数解。