线性代数：第一章 行列式（2）行列式按行（列）展开 克拉默法则
第三节 行列式按行(列)展开
一．数学概念
余子式和代数余子式
在n阶行列式中，把元素 所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 ，记
,
叫做元素 的代数余子式。
二．原理，公式
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积。
定理3.1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
或
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
范德蒙德(Vandermonde)行列式
三．重点，难点分析
本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的值。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零，而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。
Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式，但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难，当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。
四．典型例题分析
例2．设4阶行列式的第2列元素依次为2，m,k,3，第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式值为1，求m,k。
解：这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得
即
解得
例3．计算
解：本题从表面上它不是Vandermonde行列式，但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式，将D的第1列分别乘 加到第3列，得
第四节 克拉默法则
一．数学概念
1．非齐次线性方程组
其中右端的常数项 不能全为零。
2．齐次线性方程组
二．原理，公式和法则
克拉默法则
设非齐次线性方程组
若方程组(1)的系数行列式
则方程组(1)有唯一解
其中 是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
定理4.1 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。
定理4.1’ 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理4.2 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4.2’ 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。
三．重点，难点分析
我们用行列式的性质和展开定理计算各种形式的行列式，其最终目的是解未知数的个数与方程组的个数相同的线性方程组。我们要重点掌握克拉默法则，会用克拉默法则解线性方程组。在使用中注意定理4.1，4.2及其逆否定理的区别，联系和应用。
四．典型例题分析
例1．解线性方程组
解：
于是得
例2．问 取何值时，齐次线性方程组
有非零解？
解：由定理4.2’可知，若齐次线性方程组有非零解，则上式的系数行列式D＝0。而
由D=0，得 =2, =5或 =8。不难验证，当 ＝2,5或8时，题给齐次线性方程组确有非零解。
本章小节
行列式的概念是基础。
行列式的性质是关键。
行列式的计算是重点。
用行列式解线性方程组是目的。
from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm