【第一类斯特林数】自然数幂和

用带符号第一类斯特林数求自然数幂和，
先推一发第一类斯特林数，

设 F(x,n)=x∗(x−1)∗.....∗(x−n+1)

=∑i=1nxi∗Sn,i

又因为 F(x,n−1)∗(x−n+1)=F(x,n)
把两个式子拆开，搞一下即可得出：

Si,j=Si−1,j−1−(i−1)∗Si−1,j

正文开始

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那么，怎么拿它来做自然数幂和呢？

显然有 Sn,n=1

F(x,n)−∑i=1n−1xi∗Sn,i=xn

∑x=1NF(x,n)−∑i=1n−1(∑x=1Nxi)∗Sn,i=∑x=1Nxn

设： S′(n)=∑Ni=1in

∑x=1NF(x,n)−∑i=1n−1S′(i)∗Sn,i=S′(n)

发现： Fx,n=Pnx=Cnxn!

∑x=1NF(x,n)=n!∑x=1NCnx=n!Cn+1N+1

回到上面：

n!Cn+1N+1−∑i=1n−1S′(i)∗Sn,i=S′(n)

在 O(n2) 的复杂度可以出解；