计蒜客 17115 2017 ICPC 西安网络赛 B Coin

Problem

nanti.jisuanke.com/t/17115

Reference

关于二项展开式系数和
【二项式定理】【推导】计蒜客17115 2017 ACM-ICPC 亚洲区(西安赛区)网络赛 B. Coin

Meaning

抛一个硬币正面朝上的概率是 qp qp12 ),连抛 k 次,求正面朝上的次数是偶数的概率

Analysis

即是求:

0ikiCik(qp)i(1qp)ki

通分,提出 1pk ,得:
1pkiqi(pq)ki

其中的求和部分,即是求 [q+(pq)]k 展开式中偶数项的系数和。
(a+b)k 的偶数项和可以:
1. 直接通过 (a+b)k+(a+b)k2 来求;
2. 也可以用 (a+b)k±(ab)k2 来求

  • (a+b)k 的通项是 Cikaibki
  • (ab)k 的通项是 Cikai(b)ki=(1)kiCikaibki
  • 要消去奇数项,就要使得前者 i 为奇数时,后者 k - i 也是奇数
  • 所以当 k 是奇数时,两者相减;而 k 是偶数时,两者相加

Code

#include 
using namespace std;
const int MOD = 1000000007;

int fp(long long a, int b)
{
    int r = 1;
    for( ; b; b >>= 1, a = a * a % MOD)
        if(b & 1)
            r = r * a % MOD;
    return r;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int p, q, k;
        scanf("%d%d%d", &p, &q, &k);

        int a = fp(p, k), // [q + (p - q)] ^ k
            b = fp(p - q - q, k); // [-q + (p - q)] ^ k

        int ans = (a + b) % MOD;
        // ans / 2
        ans = (long long)ans * fp(2LL, MOD - 2) % MOD;
        // ans / p^k
        ans = (long long)ans * fp(fp(p, k), MOD - 2) % MOD;

        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

用第二种的:

/*… 前面相同 …*/

int a = fp(p, k), // [q + (p - q)] ^ k
    // q + q - p <= 0,所以要 + MOD
    b = fp(q + q - p + MOD, k), // [q - (p - q)] ^ k
    ans;

if(k & 1)
    ans = (a - b + MOD) % MOD;
else
    ans = (a + b) % MOD;
// ans / 2
ans = (long long)ans * fp(2LL, MOD - 2) % MOD;
// ans / p^k
ans = (long long)ans * fp(fp(p, k), MOD - 2) % MOD;

/*… 后面相同 …*/

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