[COGS 362]锯木厂选址
362. [CEOI2004]锯木厂选址
★★★ 输入文件：two.in 输出文件：
two.out
简单对比
时间限制：0.1 s 内存限制：32 MB
从山顶上到山底下沿着一条直线种植了n棵老树。当地的政府决定把他们砍下来。为了不浪费任何一棵木材，树被砍倒后要运送到锯木厂。
木材只能按照一个方向运输：朝山下运。山脚下有一个锯木厂。另外两个锯木厂将新修建在山路上。你必须决定在哪里修建两个锯木厂，使得传输的费用总和最小。假定运输每公斤木材每米需要一分钱。
输入
输入的第一行为一个正整数n——树的个数（2≤n≤20 000）。树从山顶到山脚按照1，2……n标号。接下来n行，每行有两个正整数（用空格分开）。第i+1行含有：wi——第i棵树的重量（公斤为单位）和 di——第i棵树和第i+1棵树之间的距离，1≤wi ≤10 000，0≤di≤10 000。最后一个数dn，表示第n棵树到山脚的锯木厂的距离。保证所有树运到山脚的锯木厂所需要的费用小于2000 000 000分。
输出
输出只有一行一个数：最小的运输费用。
样例
输入
9
1 2
2 1
3 3
1 1
3 2
1 6
2 1
1 2
1 1
输出
26
dp[i] = min(cost(1, j) + cost(j + 1, i)) + cost(i, n);
令sum[i] = sigma(i=[1, i]){d[i]}cost[l, r] = sigma{i=[l,r]}(sum[r] - sum[i]) * w[i]
dp[i] = min(sigma{p=[1,j]}{(sum[j] - sum[p]) * w[p]} + sigma{p=[j + 1, i]}{(sum[i] - sum[p]) * w[p]}
dp[i] = min(sigma{p=[1,j]}{sum[j] * w[p] - sum[p] * w[p]} + sigma{p=[j + 1, i]}{sum[i] * w[p] - sum[p] * w[p]}
令c[r] = sigma{i=[1,r]}{sum[i] * w[i]}
令Sw[r] = sigma{i=[1,r]}{w[i]}
则dp[i] = min(sum[j] * Sw[j] - c[j] + sum[i] * (Sw[i] - Sw[j]) - (c[i] - c[j])
dp[i] = min((sum[j] - sum[i]) * Sw[j]) + sum[i] * Sw[i] - c[i];
假设k>j且k优于j,则有Sw[k] > Sw[j], c[k] > c[j]
(sum[j] - sum[i]) * Sw[j] > (sum[k] - sum[i]) * Sw[k]
(sum[j] - sum[i]) * Sw[j] > (sum[k] - sum[i]) * Sw[k]
sum[i] * (Sw[k] - Sw[j]) > sum[k] * Sw[k] - sum[j] * Sw[j]
sum[i] > (sum[k] * Sw[k] - sum[j] * Sw[j]) / (Sw[k] - Sw[j])
斜率是递增的
然而并没有什么卵，推出来了还搞了半天的大于小于号= =(我一定是傻了)
注意如果sum[i] > (sum[k] * Sw[k] - sum[j] * Sw[j]) / (Sw[k] - Sw[j])这个式子成立的话那么就要把队头pop掉
然后队尾的处理是贪心取最小的那一个
#include
#include
#include
#include
#define maxn 20010
using namespace std;
int n;
long long w[maxn], d[maxn], sum[maxn], Sw[maxn], c[maxn];
int q[maxn];
long long cost(int l, int r){
return sum[r] * (Sw[r] - Sw[l - 1]) - c[r] + c[l - 1];
}
double slop(int j, int k){return (double)(sum[k] * Sw[k] - sum[j] * Sw[j]) / (Sw[k] - Sw[j]);}
int main(){
freopen("two.in", "r", stdin);
freopen("two.out", "w", stdout);
//printf("%.3lf\n", (sizeof w)*10 / 1024.0/1024.0);
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++){
scanf("%lld%lld", &w[i], &d[i]);
sum[i + 1] = sum[i] + d[i];
Sw[i] = Sw[i - 1] + w[i];
c[i] = c[i - 1] + sum[i] * w[i];
}
c[n + 1] = c[n];
Sw[n + 1] = Sw[n];
long long ans = 0x7fffffff;
int l = 1, r = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
while(l < r && slop(q[l], q[l + 1]) <= sum[i])
l ++;
ans = min(ans, cost(i + 1, n + 1) + (sum[q[l]] - sum[i]) * Sw[q[l]] + sum[i] * Sw[i] - c[i]);
while(l < r && slop(q[r - 1], q[r]) > slop(q[r], i))
r --;
q[++ r] = i;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
然后附加一道题[ZJOI 2007]仓库建设
一定要注意！！决策0一定要提前加入队列= =
dp[i] = min(dp[j] + cost(j + 1, i)) + c[i]
dp[i] = min(dp[j] + sigma([p=[j + 1, i]] (sum[i] - sum[p]) * w[p])) + c[i]
令C[r] = sigma{i=[1,r]}{sum[i] * w[i]}
令Sw[r] = sigma{i=[1,r]}{w[i]}
dp[i] = min(dp[j] + sum[i] * (Sw[i] - Sw[j]) - C[i] + C[j]) + c[i]
假设k>j且k优于j,则有Sw[k] > Sw[j], c[k] > c[j]
dp[j] + sum[i] * (Sw[i] - Sw[j]) - C[i] + C[j] > dp[k] + sum[i] * (Sw[i] - Sw[k]) - C[i] + C[k]
dp[j] - sum[i] * Sw[j])+ C[j] > dp[k] - sum[i] * Sw[k] + C[k]
sum[i] * (Sw[k] - Sw[j]) > dp[k] - dp[j] + C[k] - C[j]
sum[i] > (dp[k] - dp[j] + C[k] - C[j]) / (Sw[k] - Sw[j])
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
#include
#include
#include
#include
#define maxn 1000010
using namespace std;
typedef long long ll;
void read(ll &num){
char ch = getchar();num = 0;
for(; ch < '!'; ch = getchar());
int flag = 1;
if(ch == '-'){flag = -1, ch = getchar();}
for(; ch > '!'; ch = getchar())
num = num * 10 + ch - 48;
num = num * flag;
}
int n;
ll sum[maxn], Sw[maxn], C[maxn], w[maxn], c[maxn], dp[maxn];
int q[maxn];
double slop(int j, int k){
return (double) (dp[k] + C[k] - dp[j] - C[j]) / (Sw[k] - Sw[j]);
}
int main(){
freopen("storage.in", "r", stdin);
freopen("storage.out", "w", stdout);
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++){
read(sum[i]);
read(w[i]);
read(c[i]);
Sw[i] = Sw[i - 1] + w[i];
C[i] = C[i - 1] + w[i] * sum[i];
}
int l = 1, r = 0;
q[++ r] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
while(l < r && slop(q[l], q[l + 1]) < sum[i])
l ++;
int j = q[l];
dp[i] = dp[j] + sum[i] * (Sw[i] - Sw[j]) - C[i] + C[j] + c[i];
while(l < r && slop(q[r - 1], q[r]) > slop(q[r], i))
r --;
q[++ r] = i;
}
printf("%lld\n", dp[n]);
return 0;
}