hdu - 4349 - Xiao Ming's Hope - 大大的Lucas定理 && 小小的乘法逆元

首先给出这个Lucas定理：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relationholds:

表示的是同余，表示两个数对p取余，余数相同。

where

and

are the base p expansions of m and n respectively.

 

证明：

http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem

维基的意思是说在m中里面取n个%p来说，这样考虑：

将m划分成m0个1，m1个p，m2个p^2,……

将n划分成n0个1，n1个p，n2个p^2……

那是不是C（m，n）的总共的取法就是（ 在m0个里面取n0个的方案数 * m1个里面取n1个的方案数 * m2个里面取n2个的方案数 ……）

证明就是这样。

之所以看lucas，是因为12年多校有Lucas定理的题。

咳咳，我们先来看看hdu3037.

意思是说将不少于m个球放在n个盒子里面。

做ACM做多了，把高中知识都忘了-------其实就是将m + n个球放在n个盒子当中有多少放法，就用Lucas来做呗。

 其中，由于涉及到还有取模，需要运用求乘法逆元，求乘法逆元不一定要用欧几里德，还可以用欧拉定理。

欧拉定理求逆元简介： ---维基

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若为正整数，且互素，，则

其中为欧拉函数，为同余关系。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。

欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

以下是 http://blog.csdn.net/wukonwukon/article/details/7341270 的代码，加上我的一点注释：

/*
Pro: hdu-3037


Sol:Lucas
    还用到乘法逆元，乘法逆元可以不用欧几里得
    定义：
    满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。
    (PS：p一定是个素数才能对a有乘法逆元（除1），特别注意：当p是1时，对于任意a，k都为1）
 
    为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求（a/b） mod p的值（a/b一定是个整数），且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。
我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。
其结果与(a/b) mod p等价。


date:2012/08/07
*/
#include 
#include 
#include 
using namespace std;


#define N 100010


long long mod_pow(int a,int n,int p)
{
    long long ret=1;
    long long A=a;
    while(n)
    {
        if (n & 1)
            ret=(ret*A)%p;
        A=(A*A)%p;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}


long long factorial[N];


void init(long long p)
{
    factorial[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= p;i++)
        factorial[i] = factorial[i-1]*i%p;
}


long long Lucas(long long a,long long k,long long p)
//求C(n,m)%p p最大为10^5。a,b可以很大！
{
    long long re = 1;
    while(a && k)
    {
        long long aa = a%p;long long bb = k%p;
        if(aa < bb) return 0; //C(aa,bb) 表示 在aa里面取bb个，取法为0；
//由于p是素数，所以 a / b % p ，b 对于 mod a 肯定存在逆元
        re = re*factorial[aa]*mod_pow(factorial[bb]*factorial[aa-bb]%p,p-2,p)%p;//这儿的求逆不可先处理
        a /= p;
        k /= p;
    }
    return re;
}
int main(){
    int a,b,c;
    while(cin >> a >> b >> c){
        cout << mod_pow(a,b,c)<< endl;
    }
    return 0;
}


int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        long long n,m,p;
        cin >> n >> m >> p;
        init(p);
        cout << Lucas(n+m,m,p) << "\n";
    }
    return 0;
}

接着，再来看 Multi-University 05-1010hdu-4349

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4349

官方解题报告，懂了Lucas就非常非常非常好写代码了。

本题为Lucas定理推导题，我们分析一下 C(n,m)%2,那么由lucas定理，我们可以写
* 成二进制的形式观察，比如 n=1001101，m是从000000到1001101的枚举，我们知道在该定理中
* C(0,1)=0,因此如果n=1001101的0对应位置的m二进制位为1那么C(n,m) % 2==0,因此m对应n为0的
* 位置只能填0，而1的位置填0，填1都是1（C(1,0)=C(1,1)=1)，不影响结果为奇数，并且保证不会
* 出n的范围，因此所有的情况即是n中1位置对应m位置0，1的枚举，那么结果很明显就是：2^(n中1的个数)

/*
Pro: hdu-4349

Sol:    lucas

date:   2012/08/07
*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n,sum ;
int main(){
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        sum = 0;
        while(n){
            sum += (n & 1);
            n >>= 1;
        }
        printf("%d\n", (1 << sum));
    }
	return 0;
}