SG函数入门

参考博客：https://baike.baidu.com/item/SG%E5%87%BD%E6%95%B0/1004609

https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html

主要参考百度百科：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{1,3,5}=0、mex{}=0。

对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

SG函数的性质：

首先，所有的terminal position（目标位置）所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有前驱y都满足 g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。

表明，顶点x所代表的postion（位置）是P-position（必败点）当且仅当g(x)=0。

 

SG值的意义：

1，当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。为什么一定存在呢？

 因为mex函数运算时，g(y)等于最小的不属于（y后继状态）这个集合的非负整数，换言之，y的后继状态一定有 [0,k-1] 这个范围，才会出现g(x)=k,k为不小于后继状态（集合），因为函数g就是按照mex运算得来的。

2，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这个联想到Nim游戏， Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶 点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！

3，对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,…,an)，再设局面(a1,a2,…,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai 变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这就相当于可以看做，每次最聪明的操作是按照Nim游戏SG(N)值来移动，例如我们想把SG(N)变为SG(小于N)，就满足最聪明移动，但我们真正移动的又不是SG(N)的值，移动的是原来顶点N的值，咦，好像也是哦，没关系，我们依旧移顶点N的值，只是说移动顶点N的值时，要满足移动后顶点值（小于N），SG(小于N)的值是我们想要的最聪明的SG值。        

             

这就好像我们敲代码，我们通过高级程序语言来间接写机器语言运行计算机。

 

计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值

代码：

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

 

给出一道入门级的题目：

hdu 1848

#include 
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=1010;
#define N 20
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];///f[]可走步数//S[]后继存在状态
void getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));///PN点
    for(i = 1; i <= n; i++){///从i=1开始
        memset(S,0,sizeof(S));///每次初始化S[]后继存在状态
        for(j = 0; f[j] <= i && j < N; j++)///f[i]

 

 

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