素数有无穷个的证明

构造法：

1.欧几里得证法：
证：假设素数只有有限个，设为q1,q2,…qn，考虑设一个数 p=q1* q2 * … *qn + 1。显然，p 不能被q1, q2, … qn 整除。故存在两种情况：p 为素数，或 p 有除 q1, q2, … qn 以外的其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个。

2.
设p1,…,pn是n个两两不同的素数。再设Ar是其中任意取定的r个素数的乘积。证明：任一 pj (1 ≤ j ≤ n)都不能整除 p1 … pn / Ar + Ar ;
由此推出素数有无穷多个。
证：因为 pj 若不是 Ar 的因子，必然是 p1 … pn / Ar 的因子；或者，pj 若是 Ar 的因子，必然不是 p1 … pn / Ar 的因子。因此，p1 … pn / Ar + Ar或者是素数，或者除p1, … , pn之外有其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个。

3.级数法：
假若素数只有有限个p1,…,ps.证明：对任意正整数N必有

由此推出素数有无穷多个。

证：

(因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积）

故上式成立。
因为级数 递增，趋于正无穷大，由上式
可知：素数有无穷多个。（否则，上式右侧为常值）

4.Fermat数法：
设n≥0,Fn= +1.再设m≠n.证明：若d > 1,且d|Fn,则d不整除Fm.由此推出素数有无穷多个。
证：设2m/2n=r,2n=p则
当m > n时，必有Fn| -1=( +1)(pr-1-pr-2+…-1)
=( +1) =( +1)q=Fm-2.
由条件可得：d|Fm-2,又d>1,且d|Fn,故d≥3.则d不整除Fm.
当m < n时，假设d|Fm,推出d不整除Fn.
由以上命题：假设di均为素数且ni递增，则
d1|Fn1→d1不整除Fn2;
d2|Fn2→d1,d2不整除Fn3;
……
由以上论证过程，可以证明素数有无穷多个。

5.
设A1=2，An+1=An2-An+1(n≥1).再设n≠m.证明：若d|An,d>1,d不整除Am.由此推出素数有无穷多个。
证：当m>n时必有An|Am-1.方法同上。

综上所述：以上证明可以分为两类：
第一类：1.2.3.同样用到了反证法，构造法。首先假设素数有有限个，通过构造数列，论证矛盾。
第二类：4.5.用到了构造法，直接证明法。通过构造数列，证明素数有无穷多个。

摘自 百度文库， 作者不明。

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