离散数学知识点及错题集合 第一章

因为感觉内容比较多所以还是分开来写了。

第1章

1.1 命题逻辑

1.1.2 命题

命题：一个陈述句，必须可以判断真假。
例如：多伦多是加拿大首都。
不是命题有以下类型：
1.问句
2.祈使句
3.有变量等不确定因素的句子。

命题中的变量用字母表示，叫做命题变元。
【注意：命题变元代表的是整个命题，而不是命题中出现的字母】
真值表示命题的真假。

复合命题

否命题：非p。
合取：p∧q，p和q都为真时p∧q为真，否则为假。
析取：p∨q，p和q都为假时p∨q为假，否则为真。
异或：p⊕q，p和q中只有一个为真时为真，否则为假。

1.1.3 条件语句

p和q为两命题，p称为假设（前提），q称为（结论）。
p→q为条件语句，条件语句也是命题，用语言表达为“如果p，则q”，条件语句也称为p→q也可读作p蕴含q。
p为真，q为假时，命题p→q为假，否则为真。

逆命题、逆否命题与反命题

设p和q为两命题，原命题为p→q
反命题：非p→非q
逆命题：q→p
逆否命题：非q→非p
当两个复合命题总是具有相同真值时，我们称它们是等价的。
所以逆否命题和原命题等价，逆命题和反命题等价。

双条件语句

p和q为两命题，双条件语句p↔q是命题“p当且仅当q”，也称为双向蕴含。
当p和q有相同真值的时候，该命题为真，否则为假。

1.1.5 逻辑运算的优先级

非→合取∧→析取∨→单向蕴含（→）→双向蕴含（↔）

1.1.6 逻辑运算和位运算

布尔变量：该变量的值只可能是真或者假。
位运算：真值表中的T和F用1和0替代，逻辑运算符∧、∨、⊕用AND、OR、XOR替代。
位串：0位或多位的二进制序列。长度就是它所含位的数目。

1.2 命题逻辑的应用

1.2.2 语句翻译

这个我真的不会……
以下关键词可以作为p→q翻译
如果p，（则）q。
p蕴含q。
p仅当q。
p是q的充分条件。 q的充分条件是p。
q每当p。
q是p的必要条件。 p的必要条件是q。
q除非非p。

1.2.3 系统规范说明

系统规范说明应该是一直的，也就是说，系统规范说明不应该包含可能导致矛盾的想混冲突的需求。

1.2.5 逻辑谜题

斯马亚：骑士和无赖的问题

一个岛上居住着两类人——骑士和无赖，骑士只说真话，无赖只说假话。你遇见A和B，如果A说“B是骑士”，而B说“我们两个是两类人”，判断A和B是什么人。
首先先将题目转化为命题：
p：A是骑士。
q：B是骑士。
（都是无赖也可以，两个相同比较好判别）
然后把两个人说的话也转化为命题
a：q真。
b：(p∧非q)∨(q∧非p)为真。
考虑第一种情况：p真
则q，a，b都为真，但实际上b为假，矛盾，所以不成立。
考虑第二种情况：p假
则q假，a假，b假，b假，成立。
所以A是无赖，B也是无赖。

泥巴孩子谜题

父亲让男孩和女孩玩耍，两个孩子都在额头上沾了泥。回来后，父亲说“你们当中至少有一个人额头上有泥”，然后要求孩子们用“是”或“否”回答问题：“你知道你额头上有你吗？"父亲问两遍，孩子会怎么回答？假设每个孩子看得到对方头上有没有泥，但是不知道自己有没有。
同样的，把题目转化为命题：
s：男孩头上有泥。
d：女孩头上有泥。
s∨d：至少有一个人头上有泥。
有s∨d为真；
第一次两个孩子都不知道自己头上有没有泥，所以都回答否，但是他们知道肯定有一个人头上有泥，也就是说，儿子知道d为真，女儿知道s为真。
第二次两个孩子都会回答是，因为女儿由儿子答否可以得出d是真的，儿子由女儿答否可以得出s是真的。
（但是这道题是不是应该前提再加一句，两个孩子同时回答？）

1.3 命题等价式

1.3.1 永真式、矛盾式和可能式

永真式：一个真值永远为真的复合命题。
矛盾式：一个真值永远为假的复合命题。
可能式：当命题变元取不同真值时，复合命题的真值不同的。
永真式的否命题是矛盾式，矛盾式的否命题是永真式。

1.3.2 逻辑等价式

双向蕴含命题p↔q是永真式，则复合命题p和q称为逻辑等价的。

德·摩根律

有种否定的感觉

德·摩根律
非(p∧q) ≡ 非p∨非q
非(p∨q) ≡ 非p∧非q

逻辑等价式

逻辑等价式就是两个复合命题逻辑等价

等价式	名称
p∧T ≡ p	恒等律
p∨F ≡ p	恒等率
p∨T ≡ T	支配律
p∧F ≡ F	支配律
p∨p ≡ p	幂等律
p∧p ≡ p	幂等律
非（非p）≡ p	双重否定律
p∧q ≡ q∧p	交换律
p∨q ≡ q∨p	交换律
(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)	结合律
(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)	结合律
p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)	分配律
p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)	分配律
p∨(p∧q) ≡ p	吸收律
p∧(p∨q) ≡ p	吸收律
p∨非p ≡ T	否定律
p∧非p ≡ F	否定律

条件命题的逻辑等价式

条件命题的逻辑等价式
p→q ≡ 非p∨q
p→q ≡ 非q→非p
p∨q ≡ 非p→q
p∧q ≡ 非(p→非q)
非(p→q) ≡ p∧非q
(p→q)∧(p→r) ≡ p→(q∧r)
(p→r)∧(q→r) ≡ (p∨q)→r
p→q)∨(p→r) ≡ p→(q∨r)
(p→r)∨(q→r) ≡ (p∧q)→r

双条件命题的逻辑等价式

双条件命题的逻辑等价式
p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
p↔q ≡非p↔非q
p↔q ≡ (p∧q)∨(非p∧非q)
非(p↔q) ≡ p↔非q

1.3.5 可满足性

如果一个复合命题存在一个对其变元的真值赋值使其为真时，那么该命题称可满足的。
也就是说，只要找到一组命题变元使得复合命题为真，则该复合命题可满足，这组命题变元称为该命题可满足性问题的一个解。

1.4 谓词和量词

1.4.2 谓词

谓词表示主语所具有的一个性质。比如x大于3中，“x”为主语，“大于3”为谓语。
我们可以用P(x)表示语句“x大于3”，其中P表示谓词“大于3”，x为变量即主语。在x未赋值时，该命题没有真值，当x被赋予2时，P(2)为真，当x被赋予4时，P(4)为假。
当语句中由两个变量时，如“x=y+3”，我们可以用Q(x,y)表示。
推广到一般情况，涉及n个变量x₁，x₂，……，x_n时，语句可以表示成P(x₁,x₂,…,x_n)，该形式是命题函数P在n元组(x₁,x₂,…,x_n)的值，P称为n位谓词或n元谓词。

1.4.3 量词

量化表示在何种程度上谓词对于一定范围的个体成立。处理谓词和量词的逻辑领域称为谓词演算。
全称量化告诉我们一个谓词在所考虑范围内对每个个体都为真；
存在量化告诉我们一个谓词对所考虑范围内的一个或多个个体为真。

全称量词

命题断言某一性质对于变量在某一特定域内的所有值均为真，这一特定域称为变量的论域或全体域，简称域。

对特定论域而言，P(x)的全称量化是这样一个命题：“P(x)在对x在其论域中的所有值为真。”在使用全称量词时必须指定论域，否则语句的全称量化就无定义。

∀为全称量词，“∀xP(x)”就表示上述命题。
因为全称量化也是一个命题，所以也有真有假。
当对每一个x∈D，P(x)都为真，则全称量化为真；只要有一个x∈D不满足P(x)则∀xP(x)为假。
默认论域非空，如果论域为空，也就说明论域中没有一个x能使P(x)为假，所以任何P(x)都是真的。

要证明这个全称量化命题为假，就只要找出一个使∀xP(x)为假的反例就可以了。
当论域中所有元素都可以列出，则全称量化∀xP(x)和合取式P(x₁)∧P(x₂)∧…∧p(x_n)相同，所以如果命题为真，则需要P(x_i)都为真。

存在量词

命题断言有一个个体使某种性质成立，这类语句可以用存在量词表示。我们可以用存在量化构成这样一个命题：该命题为真当且仅当论域中至少有一个x使P(x)为真。
∃为存在量词，我们用符号“∃xP(x)”表示P(x)的存在量化。
同样的，如果没有指定论域，那存在量化也没有意义。

1.4.5 量词的优先级

量词∀和∃比命题验算中所有逻辑运算符都更高级。

1.4.8 量化表达式的否定

量词的德·摩根律

否定	等价语句	何时为真	何时为假
非∃xP(x)	∀x非P(x)	对每个x，P(x)为假	有x使P(x)为真
非∀xP(x)	∃x非P(x)	有x使P(x)为假	对每个x，P(x)为真

1.4.9 语句到逻辑表达式的翻译

这一部分大概是我最不擅长的了。
例题：用谓词和量词表达“班上每个学生都学过微积分”
第一步，重写语句：“对班上每一个学生，该学生学过微积分。”
设主语（学生）为x，则语句变为：
“对班上每个（学生）x，x（学生）学过微积分。”
设谓词（命题函数）C(x)，表示“x学过微积分”，且论域为班上学生，则该语句可翻译为：
∀xC(x)
将论域改为所有人，则语句改写成
“对每个人x，如果x是班上的学生，那么x学过微积分。”
这里除了牵涉到量词谓词，还牵涉到条件语句，该命题中有两个谓词，因此需要两个命题函数。
设S(x)表达x是班上学生，则命题改写为
∀xS(x)→C(x)
其中“→”是由“如果……那么”翻译来的。

1.5 嵌套量词

1.5.2 理解涉及嵌套量词的语句

处理多个变量的量化式时，可以先对期中某一个变量x的所有值（假设是有穷的）所循环，对x的每个值再做y的所有值循环。

1.5.3 量词的顺序

当量词种类相同时，可以忽略顺序。
当量词种类不同时，命题意义可能不同。
这里就不做赘述。

1.5.4 数学语句到嵌套量词语句的翻译

例：“两个正整数的和总是整数”
第一步，找出主语，设变量。
“两个正整数x，y，和为x+y”
第二步，改写。
“任意x和y，如果x是正数，y是正数，那么它们的和是正数”
然后翻译
∀x∀y((x>0)∧(y>0)→(x+y)>0)

1.6 推理规则

1.6.1 引言

先是几个名词解释
论证：一连串的命题并以结论为最后的命题。
有效性：论证的最后一个命题必须根据论证过程前面的命题或前提的真实性推出。
一个论证是有效的当且仅当不可能出现所有前提为真为结论为假的情况。

1.6.3 命题逻辑的推理规则

横线以上为前提，以下为结论
假言推理 (p∧(p→q)→q
p
p→q
——
q

取拒式 (非q∧(p→q))→非p
非q
p→q
——
非p

假言三段论 ((p→q)∧(q→r))→(p→r)
p→q
q→r
——
p→r

析取三段论 ((p∨q)∧非p)→q
p∨q
非p
——
q

附加律 p→(p∨q)
p
——
p∨q

化简律 (p∧q)→p
p∧q
——
p

合取律 (§∧(q))→(p∧q)
p
q
——
p∧q

消解律 ((p∨q)∧(非p∨r))→(q∨r)
p∨q
非p∨r
——
q∨r

1.6.7 量化命题的推理规则

全称实例：给定前提全称量化∀xP(x)得出P(a)为真。
也就是，任意x满足P，则取一个a也满足P。
∀xP(x)
——
P(a)

全称引入：对论域里所有元素c都有P(a)为真，则有∀xP(x)。
也就是，P(a₁)∧P(a₂)∧…∧P(a_n)为真，所以∀xP(x)。
P(a)，任意a
——
∀xP(x)

存在实例：允许从“我们知道∃xP(x)为真，得出在论域中存在一个元素使得P(a)为真”的推理规则。
∃xP(x)
——
P(a)，对某一元素a

也就是，有∃xP(x)，则有P(a)为真，但我们不知道a具体取什么值。
存在引入：从“已知有一特定的a使P(a)为真，则∃xP(x)”。
也就是，我们知道有一P(a)为真，可以得出∃xP(x)。
P(a)，对某一元素a
——
∃xP(x)