【洛谷3759】[TJOI2017] 不勤劳的图书管理员（树套树）

点此看题面

大致题意： 给定一个序列，每个元素有两个属性$a_i$和$v_i$，每次操作改变两个元素的位置，求每次操作后$\sum v_i+v_j[i<j,a_i>a_j]$。

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关于题意的解读

其实，题目差不多就是让我们求逆序对（只不过每个逆序对有一个权值）。

这会让我们联想起一道题目：【洛谷3157】[CQOI2011] 动态逆序对。

$Link$

【洛谷3157】[CQOI2011] 动态逆序对 的题解 详见博客 【洛谷3157】[CQOI2011] 动态逆序对（CDQ分治）

($P.S.$虽然这篇博客标题上写着$CDQ$分治，但开头部分还是对被卡掉的树套树做法做了一些介绍的)

这两道题目似乎只有以下几点不同：

• 这道题目没有卡树套树。

• 这道题目貌似不可以用$CDQ$分治做。

于是，我们就可以快乐地写 线段树套$Treap$ 了。

$Link$

线段树套$Treap$ 详见博客 初学树套树：线段树套Treap

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大致思路

这题的思路其实与动态逆序对是差不多的。

如果要将一个数从位置$x$换到$y$（$x\le y$），则增加的贡献值应为${\sum }_{i=x+1}^y{v}_i+v_x[a_i>a_x]-{\sum }_{i=x+1}^y{v}_i+v_x[a_i<a_x]$，用线段树套$Treap$可以在$O(lo{g}^{2}n)$的时间内做到这一点。

从$y$到$x$的情况同理。不过要注意，$v_x+v_y$会被重复计算，因此在从$y$到$x$时，我们就增加贡献${\sum }_{i=x+1}^{y-1}{v}_i+v_y[a_i<a_y]-{\sum }_{i=x+1}^{y-1}{v}_i+v_y[a_i>a_y]$（注意这里的上界减了$1$，避免重复计算）。

具体实现还是见代码吧。

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代码

#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned LL
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1)) 
#define MOD 1000000007
#define N 50000 
#define LogN 30
using namespace std;
int n;
struct Book
{
    int pos,val;
}s[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_SegmentTreap//线段树套Treap
{
    private:
        int n,Root[N<<2];Book data[N+5];
        class Class_Treap
        {
        	private:
        		#define Rand() ((r*=233333LL)%=2147483647)
        		#define PushUp(x) (node[x].Size=node[node[x].Son[0]].Size+node[node[x].Son[1]].Size+1,node[x].Sum=((node[node[x].Son[0]].Sum+node[node[x].Son[1]].Sum)%MOD+node[x].Val)%MOD)
        		#define Rotate(x,d) (k=node[x].Son[d^1],node[x].Son[d^1]=node[k].Son[d],node[k].Son[d]=x,x=k,PushUp(node[x].Son[d]),PushUp(x))
        		#define Build(pos,val) ((void)(node[Void[tot]]=Tree(pos,val),node[Void[tot]].Size=1,node[Void[tot]].Data=Rand()),Void[tot--])
        		int tot,k,Void[N*LogN+5];ull r;
        		struct Tree
        		{
        	 	   int Pos,Val,Sum,Size,Data,Son[2];
        	 	   Tree(int x=0,int y=0):Pos(x),Val(y),Sum(y){Son[0]=Son[1]=0;}
        		}node[N*LogN+5];
        		inline void ins(int &x,Book val)
        		{
        		    if(!x) return (void)(x=Build(val.pos,val.val));
        	  	  	++node[x].Size;
        	    	if(node[x].Pos>val.pos) {if(ins(node[x].Son[0],val),node[x].Data<node[node[x].Son[0]].Data) Rotate(x,1);}
        		   	else {if(ins(node[x].Son[1],val),node[x].Data<node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,0);}
        		    PushUp(x);
        		}
        		inline void del(int &x,int pos)
        		{	
        	 		if(!x) return;
        		    if(node[x].Pos==pos)
        		    {
        		        if(node[x].Son[0]||node[x].Son[1])
        		        {
        		            if(!node[x].Son[1]||node[node[x].Son[0]].Data>node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,1),del(node[x].Son[1],pos);
        		            else Rotate(x,0),del(node[x].Son[0],pos);
        		        }
        		        else return (void)(Void[++tot]=x,x=0);
        		    }
        		    else node[x].Pos>pos?del(node[x].Son[0],pos):del(node[x].Son[1],pos);
        		    PushUp(x);
        		}
        	public:
        		Class_Treap() {r=2333;for(register int i=N*LogN;i;--i) Void[++tot]=i;}
        		inline void Insert(int &rt,Book val) {ins(rt,val);}
        		inline void Delete(int &rt,int val) {del(rt,val);}
        		inline int total_max(int rt,Book val)
        		{
        			register int x=rt,res=0;
        			while(x)
        			{
        				if(node[x].Pos>val.pos) Inc(res,((node[node[x].Son[1]].Sum+node[x].Val)%MOD+1LL*(node[node[x].Son[1]].Size+1)*val.val%MOD)%MOD),x=node[x].Son[0];
                        else x=node[x].Son[1]; 
                    }
                    return res;
                }
        		inline int total_min(int rt,Book val)
        		{
        			register int x=rt,res=0;
        			while(x)
        			{
        				if(node[x].Pos<val.pos) Inc(res,((node[node[x].Son[0]].Sum+node[x].Val)%MOD+1LL*(node[node[x].Son[0]].Size+1)*val.val%MOD)%MOD),x=node[x].Son[1];
                        else x=node[x].Son[0]; 
                    }
                    return res;
                }
        	    #undef Build
        	    inline int GetSize(int x) {return node[x].Size;}
        }Treap;
        inline void ins(int l,int r,int rt,int pos,Book val)
        {
            register int i,mid=l+r>>1;Treap.Insert(Root[rt],val);
            if(l^r) pos<=mid?ins(l,mid,rt<<1,pos,val):ins(mid+1,r,rt<<1|1,pos,val);
        }
        inline void Upt(int l,int r,int rt,int pos,Book val)
        {
            register int i,mid=l+r>>1;Treap.Delete(Root[rt],data[pos].pos),Treap.Insert(Root[rt],val);
            if(l^r) pos<=mid?Upt(l,mid,rt<<1,pos,val):Upt(mid+1,r,rt<<1|1,pos,val);
        }
        inline int total_max(int l,int r,int rt,int ql,int qr,Book val)
        {
        	if(ql<=l&&r<=qr) return Treap.total_max(Root[rt],val);
        	register int mid=l+r>>1,res=0;
        	if(ql<=mid) res=total_max(l,mid,rt<<1,ql,qr,val);
        	if(qr>mid) Inc(res,total_max(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,val));
        	return res;
        }
        inline int total_min(int l,int r,int rt,int ql,int qr,Book val)
        {
        	if(ql<=l&&r<=qr) return Treap.total_min(Root[rt],val);
        	register int mid=l+r>>1,res=0;
        	if(ql<=mid) res=total_min(l,mid,rt<<1,ql,qr,val);
        	if(qr>mid) Inc(res,total_min(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,val));
        	return res;
        }
    public:
        inline void Init(int len) {n=len;}
        inline void Insert(int pos,Book val) {ins(1,n,1,pos,val),data[pos]=val;}
        inline void Update(int pos,Book val) {Upt(1,n,1,pos,val),data[pos]=val;}
        inline int TotalMax(int ql,int qr,Book val) {return ql<=qr?total_max(1,n,1,ql,qr,val):0;}
        inline int TotalMin(int ql,int qr,Book val) {return ql<=qr?total_min(1,n,1,ql,qr,val):0;}
}SegmentTreap;
int main()
{
    register int i,Q,x,y,ans=0;register Book t;
    for(F.read(n),F.read(Q),SegmentTreap.Init(n),i=1;i<=n;++i) 
        F.read(s[i].pos),F.read(s[i].val),Inc(ans,SegmentTreap.TotalMax(1,i-1,s[i])),SegmentTreap.Insert(i,s[i]);
    while(Q--) 
    {
        if(F.read(x),F.read(y),x>y) swap(x,y);//如果x>y，则交换x和y
        Inc(ans,SegmentTreap.TotalMax(x+1,y,s[x])-SegmentTreap.TotalMin(x+1,y,s[x])),//更新ans
        Inc(ans,SegmentTreap.TotalMin(x+1,y-1,s[y])-SegmentTreap.TotalMax(x+1,y-1,s[y])),//更新ans，将上界减1避免重复计算
        SegmentTreap.Update(x,s[y]),SegmentTreap.Update(y,s[x]),t=s[x],s[x]=s[y],s[y]=t,//交换
        F.write(((ans%=MOD)+=MOD)%=MOD),F.write_char('\n');//输出答案，注意取模
    }
    return F.end(),0;
}