bzoj 3118: Orz the MST （单纯形）

3118: Orz the MST

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Description

给出一个带权的连通无向图，对于其中的每条边i，在原来边权的基础上，其边权每增加1需要付出的代价为Ai，边权每减少1需要付出的代价为Bi，现在指定该图的一棵生成树，求通过修改边权，使得该生成树成为图的一棵最小生成树，需要付出的最少总代价。

 

Input

第一行两个正整数N, M，表示图的点数和边数，点以1~N编号；

接下来M行，每行六个正整数Ui, Vi, Wi, FFi, Ai, Bi，表示一条边(Ui, Vi)权为Wi，在原边权基础上增加1的边权代价为Ai，减少1的边权代价为Bi，FFi若为1则表示该边在指定的生成树中，若为0表示不在。数据保证FF值为1的边刚好组成原图的一棵生成树。两点之间可能有多条不同的边，但没有连接同一点的边。

 

Output

 

输出一个正整数，表示所需付出的最少总代价。

 

Sample Input

6 8
1 2 3 1 4 2
1 4 2 0 3 4
2 3 5 1 2 1
2 4 4 1 3 5
3 5 2 0 1 3
3 6 1 0 2 4
4 5 7 1 3 2
5 6 5 1 5 4

Sample Output

21

HINT

【Hint】

样例解释：

最优方案为：(1, 4)边权加2，代价6；(3, 5)边权加3，代价3；(3, 6)边权加4，代价8；(4, 5)边权减2，代价4；总代价21。

数据范围：

1<=N<=300, 1<=M, Wi, Ai, Bi<=1000。

Source

Mato_No1提供

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题解：单纯形

一道不错的单纯形，需要用心想一下。

首先对于树边只可能减少，非树边只可能增加。

我们把树建好，考虑增加一条非树边，在什么情况下可能会替代一条树边，成为新的最小生成树？当非树边的两个端点之间路径上的边有比当前非树边小的时候，可以替换。

所有我们要保证路径上的所有边最终权值小于等于这条非树边。

那么我们可以得到wi-xi<=wj+xj,移项的xi+xj>=wi-wj

然后就得到了多个类似的式子，在满足所有式子的基础上最小化sigma (xi*c[i])

因为我们得到的式子是大于等于，所以需要用到对偶定理来转化求解。

#include  
#include  
#include  
#include  
#include  
#define N 1003  
#define M 4003  
#define eps 1e-8  
using namespace std;  
const double inf=1e20;
int n,m,point[N],tot,nxt[N],v[N],num[N],c1[N],deep[N],val[N],pos[N],fa[N],cnt;  
double ans,v1,b[M],a[N][M],c[M];  
struct data{  
    int u,v,w,a,b,opt;  
}e[N],e1[N];  
void priov(int l,int e)  
{  
    b[l]/=a[l][e];  
    for (int i=1;i<=m;i++)  
     if (i!=e) a[l][i]/=a[l][e];  
    a[l][e]=1/a[l][e];  
    for (int i=1;i<=n;i++)  
     if (fabs(a[i][e])>eps&&i!=l) {  
        b[i]-=b[l]*a[i][e];  
        for (int j=1;j<=m;j++)  
         if (j!=e) a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];  
        a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e];  
     }  
    v1+=c[e]*b[l];  
    for (int i=1;i<=m;i++)  
     if (i!=e) c[i]-=c[e]*a[l][i];  
    c[e]=-c[e]*a[l][e];  
}  
double simple()  
{  
    int i,l,e;  
    double t;  
    while (true){  
        for (i=1;i<=m;i++)   
         if (c[i]>eps) break;  
        e=i;  
        if (e==m+1) return v1;  
        t=inf;  
        for (int i=1;i<=n;i++)   
         if (a[i][e]>eps&&t>b[i]/a[i][e])   
          t=b[i]/a[i][e],l=i;  
        if (t==inf) return inf;  
        priov(l,e);  
    }  
}  
void add(int x,int y,int z,int k)  
{  
    tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; c1[tot]=z; num[tot]=k;  
    tot++; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; c1[tot]=z; num[tot]=k;  
    //cout<deep[y]) {  
            if (val[x]>e[i].w) {  
                ++cnt; a[i][cnt]=1; a[pos[x]][cnt]=1;  
                //cout<e[i].w) {  
                ++cnt; a[i][cnt]=1; a[pos[y]][cnt]=1;  
                //cout<