codeforces 235E. Number Challenge （反演）

题目描述

传送门

题目大意：

∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk)

其中 d(x) 表示x的约数个数。

题解

这道题有一个很神奇的结论！
我们知道 d(nm)=∑i|n∑j|m[gcd(i,j)=1] ,那么我们可以大胆猜测，然后打表验证。

d(nmt)=∑i|n∑j|m∑k|t[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]

然后就可以开心的化式子啦。

∑a=1n∑b=1m∑c=1t∑i|a∑j|b∑k|c[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]

∑i=1n∑j=1m∑k=1t⌊ni⌋⌊mj⌋⌊tk⌋[(i,j)=1][(j,k)=1][(i,k)=1]

然后我们利用 [n=1]=∑d|nμ(d) 将 [(i,j)=1] 替换掉

∑k=1t⌊tk⌋∑d=1nμ(d)∑i=1⌊ni⌋⌊ni∗d⌋[(di,k)=1]∑j=1⌊mj⌋⌊mi∗d⌋[(dj,k)=1]

这个式子其实就可以做了，时间复杂度 O(n2logn) ，但是记录对gcd加记忆化后跑的飞起啊。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#define N 2003
#define p 1073741824
using namespace std;
int mu[N+3],prime[N+3],pd[N+3],n,m,t,g[N][N];
void init()
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++){
        if (!pd[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0];j++) {
            if (i*prime[j]>N) break;
            pd[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int gcd(int x,int y)
{
    if (g[x][y]) return g[x][y];
    int r; int X=x; int Y=y;
    while (y) {
        r=x%y; 
        x=y; y=r;
    }
    g[X][Y]=x;
    return x;
} 
int calc(int n,int d,int k)
{
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
     if (gcd(d*i,k)==1) ans+=(n/i);
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    if (n>m) swap(n,m);
    if (n>t) swap(n,t);
    init();
    int ans=0;
    for (int k=1;k<=t;k++)
     for (int d=1;d<=n;d++) 
      ans+=mu[d]*(t/k)*calc(n/d,d,k)*calc(m/d,d,k);
    printf("%d\n",(ans%p+p)%p);
}