【LOJ】#138. 类欧几里得算法

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题解

被标题坑进去，断断续续做了一天。。。确实是“类欧几里得算法”啊(雾。。。

原题解-fjzzq2002

设答案为函数$f(a,b,c,n,k_1,k_2)=\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}\lfloor \frac{ai+b}{c}{\rfloor }^{k_2}$

考虑以下情况：

• $\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$为常量($a=0$或$\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor =0$)，直接拉格朗日插值算出$\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}$即可。

• $a\ge c$或$b\ge c$，$f(a,b,c,n,k_1,k_2)=\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}(\lfloor \frac{a}{c}\rfloor \cdot i+\lfloor \frac{b}{c}\rfloor +\lfloor \frac{i\cdot (a\%c)+b\%c}{c}\rfloor {)}^{k_2}$，二项式展开一下得到若干$\lambda \sum _{i=0}^n{i}^{k_1}(\lfloor \frac{i\cdot (a\%c)+b\%c}{c}\rfloor {)}^{k_2}$，迭代求解$f(a\%c,b\%c,n,k_1,k_2)$即可。

• 不满足上面两种情况($a<c,b<c$)，把$i^{k_2}$转成$\sum _{j=0}^{i-1}(j+1{)}^{k_2}-j^{k_2}$(设$0^{k_2}=0$)。
  设$m=\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor >0$，则
  $f(a,b,c,n,k_1,k_2)$
  $=\sum _{t=0}^{m-1}((t+1{)}^{k_2}-t^{k_2})\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}[\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor \ge t+1]$
  $=\sum _{t=0}^{m-1}((t+1{)}^{k_2}-t^{k_2})\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}[i>\lfloor \frac{tc+c-b-1}{a}\rfloor ]$
  $=\sum _{t=0}^{m-1}((t+1{)}^{k_2}-t^{k_2})\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}-\sum _{t=0}^{m-1}((t+1{)}^{k_2}-t^{k_2})\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{tc+c-b-1}{a}\rfloor }{i}^{k_1}$
  与$\sum _{i=0}^n{i}^{k_1}$相同，$\sum _{t=0}^{m-1}((t+1{)}^{k_2}-t^{k_2})$同样可以插值算出，设分别为多项式$A,B$，减号右边的式子转成：
  $\sum _{t=0}^{m-1}(\sum _{p=0}^{k_2}{A}_p{t}^p)(\sum _{q=0}^{k_1}{B}_q(\lfloor \frac{tc+c-b-1}{a}\rfloor {)}^q)$
  化成$\lambda {\sum }_{t=0}^{m-1}{t}^p(\lfloor \frac{tc+c-b-1}{a}\rfloor {)}^q$的形式迭代求解$f(c,c-b-1,a,m-1,p,q)$。
  因为这里$p,q$是取遍$0-k_1,0-k_2$的，所以具体求解时直接求解$g(a,b,c,n)$，返回所有合法的$f(a,b,c,n,k_1,k_2)$的值($k_1+k_2\le 10$)

考虑到迭代过程中$(a,c)\to (a\%c,c)\to (c,a\%c)$，次数是$O(log(c))$的，每层的枚举也最多是$O(k^4)$的。

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代码

#include
#define mem(f,x) memset(f,x,sizeof(f))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;

const int mod=1e9+7;
int tk,val[15],tmp[15],C[25][25];
int qa[25],qb[25];

inline void dc(int &x,int y){x-=y;if(x<0) x+=mod;}
inline int dci(int x,int y){x-=y;return x<0?x+mod:x;}
inline void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;}
inline int adi(int x,int y){x+=y;return x>=mod?x-mod:x;}

inline int fp(int x,int y)
{
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	 if(y&1) re=(ll)re*x%mod;
	return re;
}

struct arr{int g[11][11];}tep;
int g[25],h[25];

struct xs{
	int sz,v[25];
	inline void mk(int *t)
	{
		ui i,j,k;mem(g,0);g[0]=1;
		for(i=0;i<21;++i){
			for(j=i+1;j;--j) 
			 g[j]=dci(g[j-1],(ll)g[j]*i%mod);
			g[0]=(mod-(ll)g[0]*i%mod)%mod;
		}
		for(i=0;i<21;++i){
			memcpy(h,g,sizeof(h));
			for(j=21;j;--j) ad(h[j-1],(ll)h[j]*i%mod);
			for(k=1,j=0;j<i;++j) k=(ll)k*(i-j)%mod;
			for(j=i+1;j<21;++j) k=(ll)k*(mod+i-j)%mod;
			k=(ll)t[i]*fp(k,mod-2)%mod;
			for(j=0;j<21;++j) ad(v[j],(ll)h[j+1]*k%mod);
		}
		for(sz=21;sz&&(!v[sz]);--sz);
	}
	inline int cal(ll x)
	{
		int re=0,bs=1,i;x%=mod;
		for(i=0;i<=sz;++i,bs=x*bs%mod) ad(re,(ll)bs*v[i]%mod);
		return re;
	}
}kda[11],kdb[11];
//a-> i^k 
//b-> (i+1)^k-i^k

arr F(int a,int b,int c,ll n)
{
    arr re;if(!n) a=0;
    int i,j,k,t,x,y,p,q,ip,iq;
	if((!a)||(n*a+b<c)){
    	for(i=0;i<=10;++i){
    		k=kda[i].cal(n);t=b/c;
    		for(j=0;i+j<=10;++j,k=(ll)k*t%mod)
    		 re.g[i][j]=k;
    	}
    	return re;
    }
    for(i=0;i<=10;++i) re.g[i][0]=kda[i].cal(n);
    if(a>=c || b>=c){
    	arr nw=F(a%c,b%c,c,n);
    	p=a/c;q=b/c;
    	for(i=0;i<=10;++i)
    	  for(j=1;i+j<=10;++j){
    	  	k=0;ip=1;
    	  	for(x=0;x<=j;++x,ip=(ll)ip*p%mod){
    	  		iq=1;
    	  		for(y=0;x+y<=j;++y,iq=(ll)iq*q%mod)
    	  		  ad(k,(ll)ip*iq%mod*(ll)C[j][x]%mod*(ll)C[j-x][y]%mod*(ll)nw.g[i+x][j-x-y]%mod);
    	  	}
    	  	re.g[i][j]=k;
    	  }
    	return re;
    }
    ll m=(n*a+b)/c;
    arr nw=F(c,c-b-1,a,m-1);
    for(i=0;i<=10;++i)
     for(j=1;i+j<=10;++j){
     	k=(ll)kdb[j].cal(m-1)*kda[i].cal(n)%mod;
     	for(x=0;x<j;++x){
     		for(y=0;y<=kda[i].sz;++y){
     		   dc(k,(ll)C[j][x]*kda[i].v[y]%mod*(ll)nw.g[x][y]%mod);	
     		}
     	}
     	re.g[i][j]=k;
     }
     return re;
}

int main(){
	int i,j,n,a,b,c,k1,k2;C[0][0]=1;
	for(i=1;i<25;++i){
		C[i][i]=C[i][0]=1;
		for(j=1;j<i;++j) C[i][j]=adi(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
	}
	for(i=0;i<=10;++i){
		a=b=0;
		for(j=0;j<=20;++j){
			c=fp(j,i);
			ad(a,c);ad(b,dci(fp(j+1,i),c));
			qa[j]=a;qb[j]=b;
		}
		kda[i].mk(qa);kdb[i].mk(qb);
	}
	for(scanf("%d",&tk);tk;--tk){
		scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c,&k1,&k2);
		printf("%d\n",F(a,b,c,n).g[k1][k2]);
	}
	return 0;
}