树状数组解析(转)

掌握树状数组~彻底入门

先贴一下树状数组的模板代码:

int lowbit(int i)
{
    return i & -i;//或者是return i-(i&(i-1));表示求数组下标二进制的非0最低位所表示的值
}
void update(int i,int val)//单点更新
{
    while(i<=n){
        C[i]+=val;
        i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新树状数组C,从左往右更新
    }
}
int sum(int i)//求区间[1,i]内所有元素的和
{
    int ret=0;
    while(i>0){
        ret+=C[i];//从右往左累加求和
        i-=lowbit(i);
    }
    return ret;
}
 

 

模板中最常见的三个函数:①取数组下标二进制非0最低位所表示的值;②单点更新;③区间查询。树状数组,顾名思义是树状的数组,我们首先引入二叉树,叶子节点代表A[1]~A[8]。

树状数组解析(转)_第1张图片

现在变形一下:

树状数组解析(转)_第2张图片

现在定义每一列的顶端节点C数组(其实C数组就是树状数组),如图:

树状数组解析(转)_第3张图片

C[i]代表子树的叶子节点的权值之和,如图可以知道:

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

将C数组的下标i转化成二进制:

1=(001)    C[1]=A[1];

2=(010)    C[2]=A[1]+A[2];

3=(011)    C[3]=A[3];

4=(100)    C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101)    C[5]=A[5];

6=(110)    C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)    C[7]=A[7];

8=(1000)   C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现:C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......+A[i];(k为i的二进制中从最低位到最高位连续零的个数)

例如:当i=8时,k=3,可以自行代入验证。现在引入lowbit(x):其实就是取出x的二进制的最低位1,换言之,lowbit(x)= 2^k,k的含义与上面相同。

 

int lowbit(int i)
{
     return i&(-i);
}
/*
-i 代表i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
例如 : i=6(0110) 此时 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
 i&(-i)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*/

 

 接下来是区间查询(求和):利用C[i]数组,求A数组中前i项和:举两个栗子:

①i=7,前7项和:sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7];

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[6]=A[5]+A[6];C[7]=A[7];可以得到:sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。

数组下标写成二进制:sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

②i=5,前5项和:sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5];

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];可以得到:sum[5]=C[4]+C[5];

数组下标写成二进制:sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

细细观察二进制,树状数组追其根本就是二进制的应用,结合代码演示一下代码过程:

 

int sum(int i)//求区间[1,i]所有元素的和
{
    int ret=0;
    while(i>0){
        ret+=C[i];//从右往左区间求和
        i-=lowbit(i);
    }
    return ret;
}
 

 

对于i=7进行演示:

                           7(111)  ans+=C[7] 

lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)  ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)  ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)  break;

对于i=5进行演示:

                           5(101)  ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)  ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)  break;

最后是单点更新:当我们修改A数组中某个值时,应当如何更新C数组呢?回想一下,区间查询的过程,再看一下上文中列出的过程。这里声明一下:单点更新实际上是不修改A数组的,而是修改树状数组C,向上更新区间长度为lowbit(i)所代表的节点的值。

void update(int i,int val)//更新单节点的值
{
    while(i<=n){
        C[i]+=val;
        i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新a数组
    }
}  
//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
//由叶子结点向上更新C[]数组
 

 

树状数组解析(转)_第4张图片

如图:当在A[1]加上值val,即更新A[1]时,需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8],这个时候只需将这4个节点每个节点的值加上val即可。这里为了方便大家理解,人为添加了个A数组表示每个叶子节点的值,事实上A数组并不用修改,实际运用中也可不设置A数组,单点更新只需修改树状数组C即可。下标写成二进制:C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)];

lowbit(1)=001  1+lowbit(1)=2(010)  C[2]+=val;

lowbit(2)=010  2+lowbit(2)=4(100)  C[4]+=val;

lowbit(4)=100  4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val;

最后说一下树状数组的优缺点:①特点:代码短小,实现简单;容易扩展到高纬度的数据;

②缺点:只能用于求和,不能求最大/小值;不能动态插入;数据多时,空间压力大。

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原文链接https://www.cnblogs.com/acgoto/p/8583952.html

 

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