洛谷P1993 小K的农场（差分约束）

洛谷P1993 小K的农场（差分约束）

题目描述

小 K 在 Minecraft 里面建立很多很多的农场，总共 n 个，以至于他自己都忘记了每个农场中种植作物的具体数量了，他只记得一些含糊的信息（共 m 个），以下列三种形式描述：
农场 a 比农场 b 至少多种植了 c 个单位的作物。
农场 a 比农场 b 至多多种植了 c 个单位的作物。
农场 a 与农场 b 种植的作物数一样多。
但是，由于小 K 的记忆有些偏差，所以他想要知道存不存在一种情况，使得农场的种植作物数量与他记忆中的所有信息吻合。

输入输出格式

输入格式：

第一行包括两个整数 n 和 m，分别表示农场数目和小 K 记忆中的信息数目。
接下来 m 行：
如果每行的第一个数是 1，接下来有 3 个整数 a,b,c，表示农场 a 比农场 b 至少多种植了 c 个单位的作物。
如果每行的第一个数是 2，接下来有 3 个整数 a,b,c，表示农场 a 比农场 b 至多多种植了 c 个单位的作物。如果每行的第一个数是 3，家下来有 2 个整数 a,b，表示农场 a 种植的数量和 b 一样多。

输出格式：

如果存在某种情况与小 K 的记忆吻合，输出“Yes”，否则输出“No”。

输入输出样例

输入样例：

3 3
3 1 2
1 1 3 1
2 2 3 2

输出样例：

Yes

说明

对于 100% 的数据保证：1 ≤ n，m，a，b，c ≤ 10000。

解题分析

对于情形1：a-b>=c，可变为：b-a<=-c，可增加一条由a到b的边权为-c的边。
对于情形2：a-b<=c，可增加一条由b到a的边权为c的边。
对于情形3：a-b=0，可增加两条边权为0的边，分别为由a到b和由b到a。
可判断所构建的图中是否有负环，如果有，则输出NO，否则输出Yes。这是为什么呢？以三条边为例：
若三个不等式构成一个环：a-b<=c1, b-c<=c2, c-a<=c3，将这三个不等式左端和右端分别相加得：c1+c2+c3>=0，因此，如果c1+c2+c3<0，则三个不等式不能同时成立，因此这些信息是矛盾的。
由此可以推广到任意条边组成的环。
判断负环最有效的方法是采用DFS形式的SPFA。

另外，由于图可能是不连通，因此必须从每一个点出发进行SPFA，可以增加一个额外的点，该点到其他点都添加一条边权为0的边，这样只要从这个点出发进行一次SPFA就可以了。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define N 10003
#define INF 1e9 
int n, vis[N] = {0}, dis[N], head[N], cnt = 0;
struct node{
	int v;
	int to;
	int next;
	node():next(-1){
	}
	void set(int n1, int v1){
		v = v1;
		next = n1;
	}
}e[N*3];

void get_i(int &x){
	x = 0;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
	while(isdigit(ch)){
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
}
// a-b<=v，增加一条b到a的边，边权为v 
void add(int a, int b, int v){	
	e[cnt].v = v;
	e[cnt].to = a;
	e[cnt].next = head[b];
	head[b] = cnt++;			
}

int spfa(int k){	
	int i, j;
	node n1;
	vis[k] = 1;
	for(i=head[k]; ~i; i=e[i].next){
		n1 = e[i];
		j = n1.to;				
		if(dis[j] > dis[k] + n1.v){								
			if(!vis[j]){
				dis[j] = dis[k] + n1.v;
				spfa(j);				
			} else {  // 有负环 
				return 0;
			}
		}
	}
	vis[k] = 0;
	return 1;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int m, x, a, b, c, i;
	node n1;
	get_i(n), get_i(m);
	memset(head, -1, sizeof(head));
	for(i=0; i=c  转化为：b-a <= -c 
			get_i(a), get_i(b), get_i(c);			
			add(b, a, -c);			
		} else if(x==2){  // a-b<=c
			get_i(a), get_i(b), get_i(c);
			add(a, b, c);
		} else {  // a-b=0
			get_i(a), get_i(b);
			add(a, b, 0);
			add(b, a, 0);					
		}
	}
	for(i=1; i<=n; i++){   // 增加一个虚拟点(编号为0)，与所有点全部相连，且边权为0 
		add(i, 0, 0);				
		dis[i] = INF;		
	}
	dis[0] = 0; 
	if(spfa(0))
		cout<<"Yes"<