差分约束系统

1.问题定义

    差分约束系统属于线性规划问题。在一个差分约束系统中，线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，A的所有其他元素都为0。因此，由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知元。每个约束条件为如下形式的简单线性不等式：xj-xi≤bk(1≤i, j≤n，1≤k≤m)。如下图5维向量x满足8个不等式的差分约束，我们可以把未知量x1，x2，x3，x4，x5化为如下8个不等式：

                             

我们可以发现当x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。因此这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。

 

2.解决方案

    求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v] <= d[u] + w[u,v]，即d[v] - d[u] <= w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边E(i,j），边权为bk。求单源最短路径，必须有一个源点，然后再求这个源点到其他所有点的最短路径，我们可以增加一个原点s与所有其他点相连，边权均为0，xi - x0 <= 0。上图中的不等式于是转化为下图中的有向图：

    下面介绍解决差分约束问题的方法：Bellman-Ford算法。Bellman-Ford算法是用来解决有向图中存在负权边的单源最短路径问题的。

①将除源点外的所有顶点的最短距离估计值，即 d[v] = +∞, d[s] = 0；

②反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；

③判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，问题有解，并且从源点可到达的顶点v的最短距离保存在d[v]中。

算法伪代码如下：

Bellman-Ford() {    for each vertex v ∈ G do             //初始化          d[v] = +∞    d[s] = 0       for i = 1 to n-1 do       for each edge(u, v) ∈ G do          if d[v] > d[u] + w(u, v) then   //松弛操作             d[v] = d[u] + w(u, v)      for each edge(u, v) ∈ G do        if d[v] > d[u] + w(u, v) then    //检查是否存在回路           return false    return true  }

图中任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，所以最多包含n-1条边，从源点s出发每进行一遍松弛操作时，多生成了了从s出发层次为1的树，而最短边路径最多为n-1，故只需要循环n-1次。最后计算的d[v]即为差分不等式的一组解。

 

3.算法优化

    Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，一种方法是我们引入SPFA算法作为其优化算法，也就是进行队列优化，初始化时将源s加入队列每次从队列中取出一个元素，并且对所有与之相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队，直到队列为空时SPFA算法结束。SFPA的期望时间复杂度为O(KE)[己考证，证明不严密，最坏情况和Dijkstra差不多]，期望的常数K一般不会超过2。另一种优化是Yen优化，将图中的点随机的进行标记序号v1,v2,vi...,则分为两类边集合：                                    

进行松驰时，先按vi的升序只找Ef边进行松弛，然后再按vi的降序只对Eb边进行松弛，可以优化为常数时间，复杂度仍为O(VE)[己考证]。