浅谈差分约束系统

前言

差分约束系统应该是一个比较有用的算法。它建立在图的思想上，常与最短（长）路算法一起出现。

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一道例题

下面是一组不等式：

$$A-B\ge 5\text{\hspace{1em}(①)}$$

$$B-E\ge 7\text{\hspace{1em}(②)}$$

$$A-E\ge 6\text{\hspace{1em}(③)}$$

$$D-A\ge 9\text{\hspace{1em}(④)}$$

$$B-C\ge 6\text{\hspace{1em}(⑤)}$$

$$C-E\ge 2\text{\hspace{1em}(⑥)}$$

现在问你一个问题：$A-E$的最小值是多少？

其实在这组不等式中，我们有很多方法得到一个形如$A-E\ge x$的式子：

• 第一种方法：由③式直接得$A-E\ge 6$

• 第二种方法：①+②得$A-E\ge 12$

• 第三种方法：①+⑤+⑥得$A-E\ge 13$

因此，我们可以求出答案：$A-E$的最小值是13。

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用差分约束系统来求解上面这个问题

通过我们刚才的解题步骤，我们可以总结归纳出一个解决该类问题的通用方法，也就是差分约束系统。

我们刚才通过$A-B\ge 5$、$B-C\ge 6$、$C-E\ge 2$来求出了$A-E\ge 13$，仔细观察可以发现，相邻的两个式子中都有一个相同的字母，而我们正是借助了这个字母来实现转移的。

是不是有一种熟悉的感觉？

这不就是最长路径嘛！

没错，对于一个类似于$A-B\ge x$的式子，我们可以从$B$向$A$连一条有向边，且这条边的边权为$x$。

这样，对于上面这个问题，我们只需求出$E$至$A$的最长路即可。

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不等式的转换

对于$A-B\ge x$的式子，我们是从$B$向$A$连边求最长路，而对于$A-B\le x$，则需从$A$向$B$连边求最短路。
有一个要注意的地方，就是一张图你的式子要么全是$A-B\ge x$的形式，要么全是$A-B\le x$的形式，不然你就无法用差分约束系统来求解答案了。

那么如果题目中给出多种式子呢？就不能用差分约束系统了吗？

不然，其实我们可以将这些式子全部转化为同一种式子（$A-B\ge x$或$A-B\le x$，下面以$A-B\ge x$为例）：

• $A=B$：这个式子可以拆成$A\ge B$和$B\ge A$，再转换一下就变成了$A-B\ge 0$和$B-A\ge 0$
• $A\le B$：这个式子可以转换成$B-A\ge 0$
• $A\ge B$：这个式子可以转换成$A-B\ge 0$
• $A<B$：这个式子可以改写成$A\le B-1$，再转换一下就变成了$B-A\ge 1$
• $A>B$：这个式子可以改写成$A-1\ge B$，再转换一下就变成了$A-B\ge 1$
• $A-B\le x$：这个式子可以转换成$B-A\ge -x$
• $A-B\ge x$：这个式子不用转换
• $A-B<x$：这个式子可以改写成$B-A>-x$，再转换一下就变成了$B-A\ge 1-x$
• $A-B>x$：这个式子可以转换成$A-B\ge x+1$

这样，遇到给你一些不等式，请你求出两数之差的最大（最小）值的问题，就可以轻松解决了。

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例题

【洛谷1993】小K的农场

【洛谷3275】[SCOI2011]糖果

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【洛谷1993】小K的农场 的题解详见博客【洛谷1993】小K的农场（差分约束系统模板题）

【洛谷3275】[SCOI2011]糖果 的题解详见博客【洛谷3275】[SCOI2011]糖果（差分约束系统入门题）