线性代数——二次型
一：通过矩阵研究二次方程
二次型的定义：
把含有n个变量的二次齐次函数或方程称为二次型，例如：
二次型可以用矩阵来表示：
可以表示为
更一般的情况：
可以表示为
令：
，
，则上式表示为
，这就是我们常见的二次型表示方式。
在《Linear Algebra and Its Applications》中译本《线性代数及其应用》中，二次型的定义如下：
在向量计算中常遇到的
，求向量元素的平方和，这类平方和及其更一般形式称为二次型。
上的一个二次型是定义在上的函数，其在向量x处的值为：
其中矩阵A是一个对称矩阵，矩阵A称为关于二次型的矩阵。
二次型是为研究二次函数或二次多项式而生，这样就能理解《线性代数及其应用》中二次型的定义，以及一些二次型的性质。
二：规范化
二次型或二次齐次方程有着显著的几何意义，一个二元二次函数是二维空间的一个圆，椭圆或双曲线：
的一个圆，可以表示为
：
的椭圆可以表示为
：
一个 
的双曲线可以表示为
：
这样一看，圆，椭圆，双曲线是线性关系，通过矩阵变换可以相互转化，准确说是一种仿射，它们都是圆锥体与平面的交线，所以统称为圆锥曲线。
对于一个倾斜的椭圆
，要将其扶正
除了通过坐标变化，解析几何的方法外，可以对 其二次型矩阵，进行特征值分解：
a = np.array([[5/8, -3/8], [-3/8, 5/8]])
eval_sigma1,evec_u = np.linalg.eigh(a)其特征值为：
，而这个矩阵就是椭圆扶正后的二次型矩阵
三：正定二次型
对于一个二次型
：
a.如果对所有的
，有
，则二次型称为正定的
b.如果对所有的，有
，则二次型称为负定的
c.如果
既有正值又有负值，则二次型称为不定的
d.如果对所有的
，
，则称为半正定的，如果对所有的，
，则称为半负定的
二次型与矩阵A的特征值的关系：
a.当且仅当矩阵A的特征值全为正数，则二次型为正定的
b.当且仅当矩阵A的特征值全为负数，则二次型为负定的
c.当且仅当矩阵A的特征值既有负数又有正数，则二次型为不定的
由于任意的二次型可以通过二次型矩阵的特征值分解（二次型的矩阵都是对称矩阵，对称矩阵都可以进行特征值分解），来扶正：
所以任意的二次型可以转换为上述特征值的表示形式，以方程形式表示为：
当特征值都为正时，
恒成立
当特征值都为负时，
恒成立
当特征值有正有负时，
的值，正负都有
这样就证明了二次型的矩阵特征值与其二次型的正定关系。
四：文中图片源码
文中的图片使用Python制作，代码如下：
from matplotlib.patches import Ellipse, Circle
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import math
import numpy as np
def picture1():
fig = plt.figure()
ellip1 = Ellipse(xy = (0.0, 0.0), width = 2, height = 4, angle = -45, facecolor = 'yellow', alpha = 0.3)
ellip2 = Ellipse(xy = (0.0, 0.0), width = 2, height = 4, angle = 0, facecolor = 'blue', alpha = 0.3)
ax = fig.add_subplot(111)
ax.add_patch(ellip1)
ax.add_patch(ellip2)
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))
ax.spines['left'].set_position(('data',0))
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_major_locator(matplotlib.ticker.MultipleLocator(1))
plt.axis('scaled')
plt.show()
def Draw_Circle():
x = y = np.arange(-2, 2, 0.1)
x, y = np.meshgrid(x, y)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.contour(x, y, x**2 + y**2, [1], alpha = 0.3)
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))
ax.spines['left'].set_position(('data',0))
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_major_locator(matplotlib.ticker.MultipleLocator(1))
ax.xaxis.set_major_locator(matplotlib.ticker.MultipleLocator(1))
plt.axis('scaled')
plt.show()
def Draw_ellipse():
a = math.cos(-math.pi/4)
b = math.sin(-math.pi/4)
x = y = np.arange(-3, 3, 0.1)
x, y = np.meshgrid(x, y)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.contour(x*a + y*b, x*b - y*a, x**2 + (1/4)*y**2, [1], alpha = 0.3)
ax.contour(x, y, x**2 + (1/4)*y**2, [1], alpha = 0.3)
#ax.contour(x, y, x**2 + y**2, [1], alpha = 0.3)
#ax.contour(x, y, (5/8)*x**2 - (3/4)*x*y + (5/8)*y**2, [1], alpha = 0.3)
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))
ax.spines['left'].set_position(('data',0))
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_major_locator(matplotlib.ticker.MultipleLocator(1))
ax.xaxis.set_major_locator(matplotlib.ticker.MultipleLocator(1))
plt.axis('scaled')
plt.show()
def Draw_hyperbola():
a = [i / 100 for i in range(100, 300, 1)]
b = [math.sqrt(i**2 - 1) for i in a]
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(a, b, color = "blue", alpha = 0.3)
ax.plot(a, [-i for i in b], color = "blue", alpha = 0.3)
ax.plot([-i for i in a], b, color = "blue", alpha = 0.3)
ax.plot([-i for i in a], [-j for j in b], color = "blue", alpha = 0.3)
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position(('data',0))
ax.spines['left'].set_position(('data',0))
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_major_locator(matplotlib.ticker.MultipleLocator(1))
plt.show()
if __name__ == "__main__":
a = np.array([[5/8, -3/8], [-3/8, 5/8]])
eval_sigma1,evec_u = np.linalg.eigh(a)
print(eval_sigma1)
print(evec_u)
Draw_ellipse()