数论 扩展欧几里德算法

所谓的扩展欧几里得算法就是用来求解方程：ax+by=gcd(a,b)的算法由辗转相除法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b).所以有

ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) 

bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;

由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，

即 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2  —>  ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

在根据多项式恒等定理（把a,b看成变量），x1=y2; y1=x2-a/b*y2; 

第二个式子变形可得到：ay1+b(x1-(a/b)×y1)=gcd(a,b)故可以的得到：x=y1，y=(x1-(a/b)×y1)。对于式子 ax+by=gcd(a,b) 

而且当b=0时，gcd(a,b)=a, ax = a ,  则x=1，y=0;（这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数，而是一个计算机求出来的值）

（表面上看，就是已知方程一的一组解，可以得到方程二的一组解，已知方程二的一组解，就可以得到方程一的一组解，但是实际情况是，不可能先知道方程一的解（x1,y1）。）上述思想是递归定义的，不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b)，到b=0（y的系数为0）时，由(1)的解，根据解之间的关系，最终可以得到方程ax+by =gcd(a, b)的解。

代码：

写法1

 这里推荐这种写法 配合式子方便理解

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
	int x2=x,y2=y;
	x=y2;
	y=x2-(a/b)*y2;
	return gcd;
} 

 写法2

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);// x,y交换了位置 
	y=y-(a/b)*x;
	return gcd;
}

配合一道题理解一下

一、题目描述

    在平面上有一个两端无限延伸的数组如下图所示，0为起点，1是终点，现在有四种走法，向正方向走a步，向负方向走a步，向正方向走b步，向负方向走b步。在任给两个数a,b问能否从起点走到终点。

    

二、样例

    输入：a=4，b=11

    输入：Yes（a+a+a-b）

三、解题报告

    该题实际要求的是，满足ax+by=1的整数解x,y。当gcd(a,b)!=1时是无解的，因为，在ax+by=1中a,b,x,y,1，都是整数，假设a,b的最大公倍数为c，即c=gcd(a,b),则方程可以化解为：(a/c)x+(b/c)y=1/c,令a1=a/c,b1=b/c 则有a1x+b1y=1/c,其中a1,b1,x,y都是整数如果1/c不是整数则方程无解，所有方程有整数解的条件是gcd(a,b)=c=1。

四、扩展欧几里得算法

    所谓的扩展欧几里得算法就是用来求解方程：ax+by=gcd(a,b)的算法。由辗转相除法可知gcd(a,b)=gcd(b,a%b).所以有ax+by=gcd(a,b) 和 bx2+(a%b)y2=gcd(a,b).第二个式子变形可得到：ay1+b(x1-(a/b)×y1)=gcd(a,b)，故可以的得到：x=y1，y=(x1-(a/b)×y1)。而且当b=0时，gcd(a,b)=a,故可以得到:1*a+0*b=0,即x=1，y=0.
 

本题代码：

#include 
#include 
using namespace std;
 
int exgcd(int a,int b,int &x,int&y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);//交换x与y位置
    y=y-(a/b)*x;
    return d;
}
 
int main()
{
    int a,b,c;
    int x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);//输入的一个点
    if(a<=b)//大的放前
        c=exgcd(a,b,x,y);
    else
    {
        c=exgcd(b,a,x,y);
        int z=x;
        x=y;
        y=z;
    }
    if(c==1)
    {
        printf("Yes(%d*%d",x,a);
        if(y>0)
            printf("+");
        printf("%d*%d)\n",y,b);
    }
    else
        printf("No\n");
    return 0;
}