open ball、closed ball 与 open set、closed set(interior point,limit point)、dense set

0. demo

在拓扑学上,open set(开集)是对实数轴(real line)上开区间(open interval)的拓展。


open ball、closed ball 与 open set、closed set(interior point,limit point)、dense set_第1张图片

  • 红色圆盘: {(x,y)|x2+y2<r2} ,蓝色圆圈: {(x,y)|x2+y2=r2}
  • 红色点集即为一种 open set,蓝色点集则为 boundary set,
  • 红色点集和蓝色点集的并构成了 closed set;

1. interior point 与 limit point

度量空间 (X,d) 中的任一子集 S x 如果想成为 S 中的一个内点,则要求,存在一个 r>0 ,使得 {y|d(x,y)<r}S

  • {y|d(x,y)<r} 刻画的其实是 x 在度量空间 (X,d) 中的邻域;

首先需要注意的是,极限点 x (limit point 或叫 accumulation point)作用的对象是拓扑空间 (X,d) 中的集合 M 上(也即极限点,是集合的极限点), xX x 可以不属于集合 M ,也即一个集合在某拓扑空间中的极限点,可以不在该集合中。

x 如果想要成为集合 M 的极限点,要求, ϵ>0 (任给无穷小,open ball 的半径 radius), mM (总可以在集合 M 中找到),使得 mB(x,ϵ)

不妨考虑如下这样一种直观的例子,实数轴上 r<x<r 的开区间内,当然也可将其视为集合,该集合的 limit point 显然就是两个端点( ±r ),分别以两个端点为圆心,以任意无限小半径( ϵ>0 )画圆,总可以在内侧区域找到 mM

2. open ball 是 open sets 的证明

Proof that Open balls are Open sets

给定度量空间 (X,d) xX r>0 ,构成一个 open ball,记为 B(x,r) ,此时需要证明的则是, B(x,r) 是一个 open set。

证明过程如下:

B(x,r)ϕ ,在 B(x,r) 内选择一点 y yB(x,r) ),显然有 d(x,y)<r ,不妨假定 d(x,y)=h ,此时我们以 y 为中心点,以 rh 为新的半径,构成 B(y,rh) (因为 y 是任意变化的),取 zB(y,rh) ,根据度量空间中的三角不等式性,有:

d(x,z)d(x,y)+d(y,z),d(x,y)=h,d(y,z)<rhd(x,z)<h+rh=r

因此 zB(x,r) ,也即 B(y,rh)B(x,r) ,因此 y B(x,r) 的一个内点(interior point),又因为 y B(x,r) 内的任一点,则 B(x,r) 是一个 open set。

3. dense set

给定度量空间 (X,d) AX ,集合 A 是 dense set(密集)如果 xX 是集合 A 的 limit point。

根据 limit point 的定义,也即 r>0 ,总可以找到( aA ), aB(x,r) .

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