线性代数第二章矩阵及其运算

$1.矩阵

定义1
$由m\ast n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表$

称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作

这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数$aij$位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。以数$a_{i,j}元的矩阵可简记作(a_{ij})或(a_{ij})m\ast n.m\ast n矩阵A也记作A_{m\ast n}$.
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵
$A=(a_1,a_2,...,a_n)$.
只有一列的矩阵

称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果$A=(a_{ij})与B=(b_{ij})是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即$

那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作
A=B
元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。
矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。

例1

某工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

其中$a_{ij}为工厂向第i店发送第j种产品的数量。$
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵

其中$b_{i1}为第i种产品的单价，b_{i2}为第i种产品的单件重量$。

例2

四个城市间的单向航线如图2.1所示：

若令
$a_{ij}=\{\begin{array}{l}1,从i市到j市有1条单向航线，\\ 0，从i市到j市没有单向航线.\end{array}$
则图2.1可用矩阵表示为

一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。

例3

$n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式$

表示一个从变量$x_1,x_2,...,x_n到变量y_1,y_2,...,y_m的线性变换，其中a_{ij}为常数。线性变换（2）的系数a_{ij}构成矩阵A=(a_{ij}{)}_{m\ast n}$
给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换

叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵

叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）

又如线性变换

对应n阶方阵

这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。对角阵也记作

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。
例如矩阵
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$
所对应的线性变换
$\{\begin{array}{l}{x}_1=x,\\ y_1=0\end{array}$
可看作是xOy平面上把向量OP=$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right)$的变换（或看作把点P变为点P1的变换，参看图2.2），由于向量OP1是向量OP在x轴上的投影向量（即点P1是点P在x轴上的投影），因此这是一个投影变换。

$2.矩阵的运算

一、矩阵的加法

定义2 $设有两个m\ast n矩阵A=(a_{ij})和B=b_{ij},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为$

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律（设A,B,C都是m*n矩阵）
$(1)A+B=B+A$
$(2)(A+B)+C=A+(B+C)$.
$设矩阵A=(a_{ij}),记$
$-A=(-a_{ij})$
-A称为矩阵A的负矩阵，显然有
A+(-A)=O,
由此规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B).

二、数与矩阵相乘

定义3 $数\lambda 与矩阵A的乘积记作\lambda A或A\lambda ,规定为$

$数乘矩阵满足下列运算规律（设A,B为m\ast n矩阵，\lambda ,\mu 为数）：$
$(1)(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A);$
$(2)(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A;$
$(3)\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B.$
矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换

若想求出从$t_1,t_2到y_1,y_2的线性变换，可将（4）代入（3），便得$

线性变换（5）可看作是先作线性变换（4）再作线性变换（3）的结果。我们把线性变换（5）叫做线性变换（3）与（4）的乘积，相应的把（5）所对应的矩阵定义为（3）与（4）所对应的的矩阵的乘积，即

一般的，我们有

定义4 $设A=（a_{ij}）是一个m\ast s矩阵，B=（b_{ij}）是一个s\ast n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m\ast n矩阵C=（c_{ij}）,其中$

并把此乘积记作
C=AB.
按此定义，一个1s行矩阵与一个s1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数。

=${\sum }_{k=1}^t{a}_{ik}{b}_{kj}=c_{ij}$,
由此表明乘积矩阵AB=C的(i,j)元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积。
必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

例4

求矩阵

的乘积AB
解 因为A是24矩阵，B是43矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，其乘积AB=C是一个2*3矩阵。按公式（6）有

例5

求矩阵

的乘积AB及BA。
解 按公式（6）有

在例4中，A是24矩阵，B是43矩阵，乘积AB有意义而BA却没有意义。由此可知：
1.在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序
AB是A左乘B（B被A左乘）的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时，BA可以没有意义。
2.若A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB与BA都有意义，但AB是m阶方阵，BA是n阶方阵，当$m\ne n时，AB\ne BA.即使m=n，即A,B是同阶方阵，$如例5，A与B都是2阶方阵，从而AB与BA也都是2阶方阵，但AB与BA仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，$AB\ne BA$.
对于两个n阶方阵A,B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的。
例5还表明
1.矩阵A$\ne O,B\ne O,但却有BA=O。$这就提醒读者要特别注意：若有两个矩阵A,B满足AB=O，不能得出A=O或B=O的结论；
2.若$A\ne O而A(X-Y)=O,也不能得出X=Y的结论。$
矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配率（假设运算都是可行的）：

对于单位矩阵E，容易验证

可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.
矩阵

称为纯量阵。由$(\lambda E)A=\lambda A,A(\lambda E)=\lambda A，$可知纯量阵$\lambda E与矩阵A的乘积等于数\lambda 与A的乘积。$并且当A为n阶方阵时，有
$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n),$
表明纯量阵$\lambda E$与任何同阶方阵都是可交换的。
有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂。设A是n阶方阵，定义
$A^1=A,A^2=A^1\ast A^1,...,A^{k+1}=A^k{A}^1,$
其中k为正整数，这就是说$A^k就是k个A连乘。显然只有方阵，它的幂才有意义。$
由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：
$A^k{A}^l=A^{k+l},(A^k{)}^l=A^{kl},$
其中k,l为正整数，又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般说来$(AB{)}^k\ne A^k{B}^k,只有当A与B可交换时，才有(AB{)}^k=A^k{B}^k.$
类似可知，例如$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2,(A-B)(A+B)=A^2-B^2$等公式，也只有当A与B可交换时才成立。
上节例1中有一个向三个商店发送四种产品的数量所构成的矩阵A、一个四种产品的单价与单价重量所构成的矩阵B，按矩阵相乘的定义，可知A与B的乘积矩阵AB=C=$(c_{ij}{)}_{3\ast 2}$为三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵，即$c_{i1}为向第i店所发产品的总值，c_{i2}$为向第i店所发产品的总重量。
上节例2中有一个四城市间的单向航线矩阵A，由

记$A^2=(b_{ij}),则b_{ij}为从i市一次中转到j市的单向航线条数。$
例如
$b_{23}=1$，显示从2市经一次中转到3市的单向航线有1条（2-1-3,参看图2.1）；
$b_{42}=2$，显示从4市经一次中转到2市的单向航线有2条（4-1-2,4-3-2）；
$b_{11}=2$,显示过1市的双向航线有2条（1-2-1,1-4-1）；
$b_{33}=0$，显示3市没有双向航线。
上节例3中的线性变换

利用矩阵的乘法，可记作

Y+AX,

其中

这里，列向量（列矩阵）X表示n个变量$x_1,x_2,...,x_n，列向量Y$表示m个
变量$y_1,y_2,...,y_n$.线性变换（2）把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。
用矩阵A=$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$去左乘向量OP=$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$,相当于把向量OP投影到X轴上。（参看图2.2）

例6

证明

四、矩阵的转置

定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作$A^T$。例如矩阵

矩阵转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：

例7

已知

求$(AB{)}^T$.
解法1


解法2

设A为n阶方阵，如果满足$A^T=A,$即

那么A称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

例8

$设列矩阵X=(x_1,x_2,...,x_n{)}^T满足X^{T}X=1,E为n阶单位阵，H=E-2X{X}^T,证明X{X}^T$是n阶方阵。
证明前先提醒读者注意：$X^{T}X=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$是一阶方阵，也就是一个数，而$X{X}^T是n阶方阵。$

五、方阵的行列式

定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA
应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是$n^2$个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数。
由A确定|A|的这个运算满足下述运算规律（设A,B为n阶方阵，$\lambda$为数）：

我们仅证明(iii).$设A=(a_{ij}),B=(b_{ij}).记2n阶行列式$

由第一章例10可知$D=|A||B|,而在D中以b_{1j}乘以第1列，b_{2j}乘以第2列...,b_{nj}乘第n列，都加到第n+j列上（j=1,2..,n）$,有

其中

故 C=AB
再对D的行作

有

从而按第一章例10有

于是

由（iii）可知，对于n阶矩阵A，B，一般来说$AB\ne BA,但总有$
$|AB|=|AB|\cdot |BA|$

例9

行列式|A|的各个元素的代数余子式$A_{ij}所构成的如下的矩阵$

称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵，试证

六、共轭矩阵

$3.逆矩阵

设给定一个线性变换

它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，若记

则线性变换（7）可记作

Y=AX. (8)

以A的伴随阵A*左乘上式两端，并利用例9的结果，可得

$当|A|\ne 0时，可解出$

$记B=\frac{1}{|A|}A\ast$,上式可记作

（9）式表示一个从Y到X的线性变换，称为线性变换（8）的逆变换。
我们从（8）（9）两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系。用（9）代入（8），可得
Y=A(BY)=(AB)Y.
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB=E。用（8）式代入（9）得
X=B(AX)=(BA)X.
因此，BA=E，于是有
AB=BA=E。
由此我么引入逆矩阵的定义。

定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使

AB=BA=E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆阵是唯一的。这是因为：设B，C都是A的逆阵，则有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,
所以A的逆阵是惟一的。
A的逆阵记作$A^{-1}$,即若AB=BA=E，则B=$A^{-1}$.

定理1 若矩阵A可逆，则|A|$\ne 0$.

证
$A可逆，即有A^{-}1,使A{A}^{-}1=E.故|A|.|A^{-}1|=|E|=1,所以|A|\ne 0.$

定理2 若$|A|\ne 0,则矩阵A可逆，且$

其中A为矩阵A的伴随阵。
证：
由例9知
AA=A*A=|A|E,
$因|A|\ne 0,故有$
$A\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }A=E,$
所以，按逆阵的定义，即知A可逆，且有
$A^{-}1=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|不等于0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
由定理2，可得下述推论

证
$|A|\ast |B|=|E|=1,故|A|\ne 0,因而A^{-}1存在，于是$
$B=EB=(A^{-}1A)B=A^{-}1(AB)=A^{-}1E=A^{-}1.$

方阵的逆满足下述运算规律：

证
$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=E,$由推论，即有
$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

证
$A^T(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E^T=E,$
所以

当A可逆时，还可定义

例10

求二阶矩阵A=
$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)的逆阵$
解：
$|A|=ad-bc,A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$，
利用逆阵公式（10），当|A|不等于0时，有
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

例11

求方阵

的逆阵

例12

设

求矩阵X使其满足
AXB=C
解
$若A^{-1},B^{-1}存在，则用A^{-1}左乘上式，B^{-1}右乘上式，有$
$A^{-1}AXB{B}^{-1}=A^{-1}C{B}^{-1}$,
即
$X=A^{-1}C{B}^{-1}$
由上例知|A|不等于0，而|B|=1，故知A，B都可逆，且

例13

设$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)，\Lambda =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),AP=P\Lambda ，求A^n$.
解
$A=P\Lambda P^{-1},A^2=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P{\Lambda }^2{P}^{-1,A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}},$
而
$\Lambda =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),{\Lambda }^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^2\end{array}\right),A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right),$
$|P|=2,P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$
$故A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=$
$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 2^{n+1}\\ 1& 2^{n+2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4-2^{n+1}& 2^n-1\\ 2-2^{n+1}& 2^{n+1}-1\end{array}\right)$.

设$\phi (x)=a_0+a_{1}x+...+a_m{x}^m$
为$x的m次多项式，A为n阶矩阵，记$
$\phi (A)=a_{0}E+a_{1}A+...+a_m{A}^m$,\varphi(A)称为矩阵A的m次多项式
因为矩阵$A^k，A^l和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式\phi (A)和f(A)总是可交换的，即总有：$
$\phi (A)f(A)=f(A)=\phi (A),$
从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。例如
$(E+A)(2E-A)=2E+A-A^2，$
$(E-A{)}^3=E-3A+3A^2-A^3.$
我们常用例13中计算$A^k的方法来计算A的多项式\phi (A),这就是：$
$(i)如果A=P\Lambda P^{-1},则A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1},从而$
$\phi (A)=a_{0}E+a_{1}A+...+a_m{A}^m$
$=a_{0}E{A}^0+a_{1}A+...+a_m{A}^m$
$=a_{0}EP{P}^{-1}+a_{1}P\Lambda P^{-1}+...+a_{m}P{\Lambda }^m{P}^{-1}$
$=P{a}_{0}E{P}^{-1}+P{a}_1\Lambda P^{-1}+...+P{a}_m{\Lambda }^m{P}^{-1}$
$=P\phi (\Lambda )P^{-1}$
(ii)如果$\Lambda =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n)为对角阵，则{\Lambda }^k=diag({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,{\lambda }_3^k,...,{\lambda }_n^k)$,从而
$\phi (\Lambda )=a_{0}E+a_{1}A+...+a_m{A}^m$