中国剩余定理的五种解法

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_a6f9a3b60101favb.html

一、枚举法

二、解不定方程法

三、逐级满足法

四、化为相同除数的同余式法、

五、才用到典经的、不同除数的同余式组解法

    现将陈景润所著《初等数论Ⅰ》中的一个习题为例，用五种方法解算，可以对比。

试解下列同余方程

X≡2  (mod  7 )

 X≡5  (mod  9 )

X≡1  (mod  5 )      求X

 

                                      一 枚举法

 

X≡2  (mod  7 )           X÷7=A…2        X=7A+2

X≡5  (mod  9 )   相当于  X÷9=B…5   →   X=9B+5

X≡1  (mod  5 )           X÷5=C…1        X=5C+1

    枚举法就是按A=0、1、2、3、4…    B=0、1、2、3、4…   C=0、1、2、3、4…

代入各式，计算各式的X，当三个X相同时，就是一个解。

   A、B、C    0    1    2    3    4 …  9    10    11    12 …   16   17   18… 

   X_A          2    9    16   23   30…  65   72    79    86…    

     X_B        5   14    23   32   41 … 86 …

       X_C      1    6    11   16   21 … 46   51    56    61 …    81   86  … 

   即，当A=12、B=9、C=17时，X 都等于86。所以最小 X=86。由于7、9、5的最小公倍数是315，所以，通解   X=86+315K  (K=0、1、2、3、…)

    枚举法就是凑，很‘笨’，但也最直观。适合小学生学习。也可用电子表格计算，那太快捷了。

 

                                       二 解不定方程法

X=7A+2

X=9B+5     →9B+5=7A+2    →9B=7A+2-5=7A-3    →B=(7A-3)/9

X=5C+1     →5C+1=7A+2   →5C=7A+2-1=7A+1    →C=(7A+1)/5

    由B=(7A-3)/9，算得：当A=3时，B=2，但A=3时，C=(7A+)/5=4.4。由于A、B、C只能是整数。所以 3、2、4.4这一组，不符合要求，要重算A。又由于B=(7A-3)/9的分母是9，所以下一个A，只能在3的基础上，增加一个9的倍数，所以A只能取12、21、30、39…有了A，再算B、C，当A、B、C全是整数时，才合格。结果如下：

A       B        C

3       2        4.4

12      9       17

21     16       29.6

…

可见，只能取A=12 、B=9  、C=17 ， 代入原式：

X=7A+2=7*12+2=86

X=9B+5=9*9+5=86

X=5C+1=5*17+1=86

得 X=86、通解为X=86+315K得X=86、通解为X=86+315K。实际上，这仍然是枚举法，只是枚举个数减少一些而已。

 三  逐级满足法

 

这个方法的基本思路是：先解算出合符第一个方程的X₁。再解算出合符第一、第二个方程的X₂，令X2=X₁+P₁。关键是P₁要保持第一个方程中的倍数要求，又要合符第二个方程中的剩余要求。再解算出合符第一、第二、第三个方程的X₃，令X₃=X₂+P₂，关键是P₂要保持第一第二两个方程中的倍数要求，又要合符第三个方程中的剩余要求。这样逐级解算，满足全部条件。

P要同时考虑两个方程的倍数关系如7A、9B，又要考虑两个余数关系，如余2、余5，方程数一多，处理时要拐几个弯，方法不易理解。

最近，我在作《数论—余数习题集》时，对“逐级满足法”作了改进。把第一个方程的通解，直接作为第二个方程的初值，不作任何转弯，就同时解决了两个方程之间的相关关系及余数关系，变得容易理解，容易操作、便于列式。这可以说是我的又一个心得罢。

仍按原例： X除以7余2、除以9余5、除以5余1，求最小X。

答：最小X=86  通解 X =86 ＋315 N ( N=1、2、3 … )

 已知：

X≡2  (mod  7 )           X÷7=A…2         X=7A＋2

X≡5  (mod  9 )   相当于  X÷9=B…5   →    X=9B＋5

X≡1  (mod  5 )           X÷5=C…1         X=5C＋1

A、B、C都是整数，可用K统一表示，且不论其具体数值。

解算步骤：

1、 先解第一个方程X÷7余2的通解X1。一般都很容易，即：

通解X1＝余数＋除数的倍数，例中X1=2＋7A 。其中余数就是最小解X0=2，加上7的最小公倍数的A倍，就是通解X1=2＋7A 。

X1是一个数列，其中总有一个数能满足所有方程，关键在于A是多少，又怎样定？A怎样定呢？现在不能定。因为要考虑到它能满足第二个方程，所以到那时才能定下来。

 

2、第二个方程。X÷9余5，此时的X首先应满足本方程要求： (X－5)÷9 = K  (K是整数)。但同时又要满足第一个方程，既然X1可以满足所有方程，所以就干脆用第一方程的通解X1代替第二方程的未知数X ，即用(X1)取代X。即应满足 (X1－5)÷9 = K，才顾及了两式。

注意，(X1－5)÷9 =K这种形式的方程，是有规律的，即：

(第一方程的通解X1（=2＋7A ） 减  第二方程的余数5 )÷第二方程的除数9＝整数K，

且以下各方程也都是这样的规律，亦即：

( 上一个方程的通解 减 本方程的余数 )÷本方程的除数 应 ＝ 整数K

现在有了 (2＋7A－5)÷9 =K ，就整理为(7A－3)÷9 = K。这时两个余数就自动合并了。

       解此 (7A－3)÷9 = K方程，便得A=3 、 K＝2。

于是  X1=2＋7A=2＋7×3=23。此时，就把X1＝23作为第二个方程的最小解，转为X2，即X2＝23。再加上7与9的最小公倍数7×9=63的倍数，得通解X2＝23＋63M。这个X2，既满足第一个方程又满足第二个方程。

X2也是一个数列，其中总有一个数，能满足所有方程，所以就是下一个方程的未知数初值了。关键在于M是多少。M怎样定呢？现在不能定。要考虑到它能满足第三个方程。到那时才能定下来。

至此，得到一个同余式  X2≡23  (mod  63 )，实际上它是

X≡2  (mod  7 )         

X≡5  (mod  9 )   二个同余式的共同解。

 

至于用什么方法来解  (7A－3)÷9 = K  这个二元一次不定方程呢？(7A－3)÷9 = K也就是7A－9K = 3，在陈景润所著《初等数论Ⅰ》中，有一个手算方法，先用“辗转相除法”得到各次余数，直到余数为“ 1 ”，再反求出满足余数“ 1 ”时的X、K的新系数，再通过“同余式”的转换，转换成己知余数(如本例的3)，才得到最终的X的系数A。整个过程步骤多。反求X、K的新系数时、转换成己知余数时，都颇费工夫，我见了生畏。还不如老老实实的试算、凑数。

(7A－3)÷9 = K   求A与K的整数解，

         列表凑罢：

A     7A     (7A－3)     K＝ (7A－3)÷9

           0      0       －3         － 0.33

           1      7         4            0.44                 

           3     21        18            2        好了，K是整数了

           4     … … 不必算了。

得A＝3、K＝2 。其实K仅起检验作用，是整数就行了，没有其他用处。

解二元一次不定方程最好的方法，当然是编个电脑程序。我已经编就了，请用吧

3、第三个方程。X÷5余1，此时X首先应满足本方程要求： (X－1)÷5 = K，又要满足第一、第二个方程。既然X2可以满足所有方程，所以就干脆用第二方程的通解X2代替第三方程的未知数X  ，即用(X2)取代X。即应满足：

(X2－1)÷5 = (23＋63M －1)÷5=K，→ (63M＋22)÷5 = K。才顾及了三个方程。

解此二元不定方程 M=1 、 K＝17。把M代入X2，

于是  X2=23＋63M=23＋63×1=86，就把X2＝86作为第三个方程的最小解，转为X3

即X3＝86。再加上63与5的最小公倍数63×5=315的倍数，得通解

X3＝86＋315P。(P=1、2、3 … )

验算  86÷7 =12   … 2

       86÷9 = 9   … 5

86÷5=17   … 1

*   *   *   *   *

“逐级满足法”解法有规律了，容易操作了。但也有两点麻烦：

1、组成形如 (AX±B)÷C＝K的不定方程，要一个个顺序进行，虽有规律，但还是比较麻烦。

2、解算(AX±B)÷C＝K方程，求待定量X、K，无论用手算，或是电子表格算，要解(N－1)次。也很烦人，特别是大数相除更麻烦。

为了加快计算，我编了一个VB程序，不用烦心，输入完数据，↙，就出结果了。

上述算题：

输入方程个数N = 3  

输入各方程的除数与余数  7   2   9   5   5   1  ↙

结果为：

通解 X =86＋ 315 N ( N=1、2、3 … )

 

还有一例：我曾靠电子表格算了一天，才得结果的，现在包括输入在内，仅15秒就搞定。

输入方程个数N = 6  

输入各方程的除数与余数  3  2  5  3  7  2  11  9  13  7  4  3  ↙

结果为：

通解 X =20183＋ 60060N ( N=1、2、3 … )

四 化为相同除数法

 

X≡2  (mod  7 )

X≡5  (mod  9 )

X≡1  (mod  5 )

这三个同余式，除数不同，分别为7、9、5，为了能利用同余式的和差特性，简化计算，先设法使它们的除数相同，为此：

X≡2  (mod  7 )两边都乘9*5，得X*45≡2*45  (mod 7*45 )  →45 X≡90   (mod 315 ) …(1)

X≡5  (mod  9 ) 两边都乘7*5，得X*35≡5*35  (mod 9*35 )  →35 X≡175  (mod 315 ) …(2)

X≡1  (mod  5 ) 两边都乘7*9，得X*63≡1*63  (mod 9*63 )  →63 X≡ 63  (mod 315 ) …(3)

                           (1)＋(2)＋(3)＝ (4)  →   143 X≡328   (mod 315 ) …4)  

根据同余式的加减性质，(1)＋(2)＋(3)得：

143 X≡328   (mod 315 )  即 143 X≡13  (mod 315 )，化为带余除式为：

143 X÷315=K …13  亦即   143X－13=315 K ，有(143X－13)÷315＝K(整数)

(143X－13)÷315＝K(整数)用通式表示为  (AX－B)÷S＝K

  解得  X=86、K=38  (实际上不用它，在此仅确认它是整数就行了)，

通解为    X＝86+315 N  ( N＝  1、2、3 … )

或   X≡86  (mod 315 )

 

这一种算法，在所有五种算法中，我认为是最简洁、工作量最小的算法。因为不管方程有多少个，它解算形如(AX－B)÷S=K这种不定方程，仅解一次而已。而其他方法要解多次。同时，这种算法也容易理解，算法单纯。

 

五 典经的、“大衍求一术”解法

 

X≡R1  (mod  m₁ )     X≡2  (mod  7 )

X≡R2  (mod  m₂)      X≡5  (mod  9 )

X≡R3  (mod  m₃)      X≡1  (mod  5 )

名词注释及计算步骤：

1  余数R：、R₁=2、R₂=5、R₃=1

2  模，亦即除数m：例中m₁=7、m₂=9、m₃=5

3  模的最小公倍数G：G=m₁*m₂*m₃，例中M=7*9*5=315

4  衍数（局部公倍数）y：Y₁=m₂m₃、Y₂=m₁m₃，Y₃=m₁m₂，例中Y₁=9*5=45、Y₂=7*5=35、Y₃=7*9=63

5  乘率C：这是解算中国剩余定理的关键，而计算“乘率”的方法，是秦九韶在《数书九章》一书中首次提出的，称之为“大衍求一术”。“求一”就是使(衍数*乘率)除以模(除数)，而余数为1。即：

衍数Y*乘率C≡1  (mod  m)，乘率C可以经过反算而得到。例中Y₁C₁≡1  (mod  7 )、

 Y₂C₂≡1  (mod  9 ) 、Y₃C₃≡1  (mod  5 )。

 

计算C₁方法。由Y₁C₁≡1  (mod  7 )， →45C₁≡1  (mod  7 )  →(45C₁－1)  /  7=整数N ，得C₁=5。因为45*5=225，225－1=224，224÷7=32，32是整数，合符要求。C₂、C₃之计算也相仿。乘率C之计算见下表：

 

同余式 i	衍数Y	乘率C	余1	模m	检验  (Y*C-1)/m  = 整数
1	45	5	1	7	(45*C-1)/7 =N   (45*5-1)/7 =  32
2	35	8	1	9	(35*C-1)/9 =N  (35*8-1)/9 =  31
3	63	2	1	5	(63*C-1)/5 =N  (63*2-1)/5 =  25

最终结果，X≡R₁Y₁C ₁+R₂Y2C₂+R₃Y₃C₃(mod G)

即X≡Σ余数*衍数*乘率 (mod G)，见下表计算：

i	余数R	衍数Y	乘率C	R*Y*C
1	2	45	5	450
2	5	35	8	1400
3	1	63	2	126
			Σ	1976

 

 

 

 

 

  

X≡1976  (mod 315)

1976 除去315的6倍后，剩下86，最终，X≡86  (mod 315)

“大衍求一术”的关键与难点，是如何解“衍数Y*乘率C≡1  (mod  m)”，得乘率C。也就是解算方程(Y*C-1)/m =N 。

2015-11-21补充：

X≡R1  (mod  m₁ ) → X≡2  (mod  7 )  ×5×9 →   45 X≡90  (mod  315 )

X≡R2  (mod  m₂)  →  X≡5  (mod  9 )  ×7×5 →   35 X≡175  (mod  315)

X≡R3  (mod  m₃)  →  X≡1  (mod  5 )  ×7×9 →   63 X≡63  (mod  315 )

 

→   45 C₁≡1  (mod  7 )  →   (45 C₁ －1 ) ÷7 ＝整数 → C₁ ＝5

→   35 C₂≡1  (mod  9)   →   (35 C₂ －1 ) ÷9 ＝整数 → C₂ ＝8

→   63 C₃≡1  (mod  5 )  →   (63 C₃ －1 ) ÷5 ＝整数 → C₃ ＝2

 

六  评  论

1           综合上述五种解法，归根到底，关键点，也是难点，就是都要解“(AX＋B)÷C= K”这种类型不定方程。而解这种不定方程的方法，既没有公式又没有窍门，归根到底还是一个“凑”字了。其中“枚举法”是小学生都懂的凑数法。因此可以说，中国剩余定理其实并不神秘，就是一个如何凑数的问题。

 2      五种解法中我认为“化为相同除数法”最简易、工作量最小。因为：

第一，它要使除数相同，方法最简单、统一，初中二年级学生都会。

第二，它解算不定方程“(AX＋B)÷C= K” 只解一次，也即只“凑”一次。而“逐级满足法”和“大衍求一术”，则要“凑”多次 (N次，即方程的个数)。方程个数越多，“化为相同除数法”就越显得省力。我认为应该宣传、普及一下通俗易懂的“化为相同除数”。               

3  至于说到“大衍求一术”的同余式“衍数Y*乘率C≡1  (mod  m)”是怎样来的，又为什么成为解题的关键，在陈景润所著《初等数论Ⅰ》1978年版85页上有理论推证。这应该是一个现代数学的推证，而不是在论证秦九韶的理论就是这样的。也就是说，这是殊途同归。至于秦九韶到底是怎样想的，或许他有更容易为常人所理解的机理，那就不得而知了，于是我们钦佩古代数学家的智慧。我们钦佩古代数学家的智慧，但不一定非要走他的路，固守他的方法。有了更好的方法，应该学习推广。至于以后是不是有更好的解法，那谁又知道呢。