参数估计

一、参数区间基本概念

（1）点估计（point estimate）

用样本统计量的某个值直接代表总体参数的估计。有距估计和极大似然估计。

（2）区间估计（interval estimate）

在点估计基础上，给总体参数估计加上一个区间范围，该区间通常用样本统计值加估计误差决定。

（3）置信区间（confidence interval）

由构造的样本统计量估计总体参数的区间范围，称为置信区间，最小值为置信下限，最大值为置信上限。

（4）置信水平（confidence level）或置信度、置信系数（confidence coefficient）

样本不同，得到的置信区间也不同。置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。在某一置信水平下依据具体样本求得的一个置信区间，可以理解为我们有多大的把握总体参数真值在这个置信区间内。
注意：置信水平不能理解为，总体参数真值有多大概率落在某个置信区间上；而应该理解为，在多次抽样得到的置信区间中，有多少比例的置信区间包含总体参数真值

二、估计量的评估标准

1）无偏性
样本估计量的平均值与总体均值相同。
2）有效性
一个无偏估计量不代表与它非常接近被估计的参数，还要看估计量的离散程度。两个样本对同一总体参数的无偏估计量，其中一个估计量的标准差比另外一个小，那么这个估计量就更有效。
3）一致性
随着样本量的增加，估计量的值越来越接近总体参数值。

三、一个总体参数的区间估计

（1）总体均值的区间估计

正态总体、方差已知或非正态总体、大样本

在方差已知的情况下，如果是正态总体或非正态、大样本的情况下，采用z估计：

得到估计总体均值在置信水平1-α情况下的置信上下界为：

总体均值有两部分组成，点估计值和描述估计精度的+-部分，其中，+-部分为估计误差（estimate error）。

在方差未知，但是大样本情况下，可以用样本方差s代替总体方差，采用z估计：
正态总体，方差未知，小样本

采用t估计：

（2）总体比例的区间估计（大样本条件下）

在大样本下，样本比例p经过标准化后服从以下分布：

（3）总体方差的区间估计（正态总体）

当总体为正态总体时，样本方差符合以下分布：

四、两个总体参数的区间估计

（1）两个总体均值之差的区间估计（独立样本）

大样本
两个样本均从两个独立的总体中抽取，两个样本均值之差经过标准化后服从以下分布：

注意：如果总体方差未知，大样本条件下可以用样本方差s代替总体方差
小样本
需要有以下假设：两个总体均服从正态分布；两个总体是相互独立的。
1）当两个总体方差已知时，采用大样本的计算公式进行计算。
2）当两个总体方差未知，但两个方差相等时，即σ1=σ2时，采用以下分布：

3）当两个总体方差未知，但两个方差不相等时，采用以下分布：