矩阵的秩

前言：矩阵的秩是一个非常重要的概念，写一篇文章出来总结一下

我们通过一个例子来学习：如何计算矩阵的秩

假设我们有这样的矩阵：

第一步便是求行阶梯形矩阵，求法就是把

• 尽量往上三角矩阵去做
• 左下角要出现尽可能多的零

0X00 行阶梯形矩阵

经过一系列的初等变换以后我们得到行阶梯形矩阵：

由于特别像楼梯，所以我们叫做行阶梯形矩阵（并不要求，每个阶梯的第一个数必须是 1）

接下来我们把行阶梯形矩阵转换成行最简形矩阵

0X01 行最简形矩阵

行最简形矩阵要求：

• 阶梯上的第一个元素为 1

• 阶梯上的第一个元素所在列的其他行全为 0

现在由于我们的行阶梯形矩阵：阶梯上的第一个元素全为 1，所以我们只需将，第一个阶梯元素的其他行变为 0 就行了：

所以我们将 并且 得到：

0X02 标准形矩阵

化到最简我们可以实现：

可以将「行最简形矩阵」经过列变换以后，得到标准型矩阵

0X03 k 阶子式

所谓 k 阶子式就是在原矩阵中，画 k 条横线 k 条竖线，然后取交界。

比如假设我们有这样的矩阵：

它的一阶子式就是：

0X04 矩阵的秩

也不说秩的定义了，直接上结论：

假设我们有矩阵 A，行最简形矩阵中非 0 行的个数叫做矩阵的秩，记做

0X05 相关性质与结论

如果矩阵 A 满秩：

• A 可逆

假设矩阵 ，我们有以下结论：