题解 [SDOI2010]地精部落

Chtholly

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。
地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。
如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。
类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。
地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。
地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。
现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式
输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。
输出格式
输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

输入输出样例

输入样例#1

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输出样例#1

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解题思路

定义状态变量 f [ i ] [ j ] 表示序列长度为 i 时有 j 个数不符合要求时的方案数，这里的“不符合要求”指的是后一个数大于前一个数，例如1,2,3这样的序列，3对于2来说定义为不符合要求，故最终答案应该为 f [ n ] [ 0 ] * 2，因为这种状态只考虑了一种情况，还有可能后一个数小于前一个数而不符合要求的情况
那么状态转移方程就很好想了，有以下三种情况可以转移：

• 考虑第 i + 1 个数插在了对其自身来说符合要求的位置，那么对当前已有的不符合要求的数的个数是没有影响的，故转移方程为：
  f [ i + 1 ] [ j ] += f [ i ] [ j ] ;
• 考虑第 i + 1 个数插在了一个当前不符合要求的数之前，那么这个数在 i + 1 插入之后就符合要求了，故转移方程为：
  f [ i + 1 ] [ j - 1 ] += f [ i ] [ j ] * j ;
• 考虑第 i + 1 个数插在了当前已经符合要求的数之前，那么在插入了 i + 1 之后就会再新增一个不符合要求的数，故转移方程应为：
  f [ i + 1 ] [ j + 1 ] += f [ i ] [ j ] * ( i - j ) ;

最终的答案就是 f [ n ] [ 0 ] * 2
在代码实现过程中需要注意的就是取模，在没有别的什么了
下面是C++代码

数据规模和约定

对于20%的数据，满足N≤10；
对于40%的数据，满足N≤18；
对于70%的数据，满足N≤550；
对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

C++代码

#include
#include
#include
#include
#define rr register
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=4200+10;
LL n,m,p,ans;
LL f[maxn][maxn];

inline LL read(){//珂朵莉版快读~~~
    int chtholly=0,willem=1;char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')willem=-1;c=getchar();}
    while(c<='9' && c>='0'){chtholly=chtholly*10+(LL)(c-'0');c=getchar();}
    return chtholly*willem;
}

int main(){
    n=read(),p=read();
    f[1][0]=1;
    for(rr int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++){
        f[i+1][j]=(f[i+1][j]+f[i][j])%p;
        f[i+1][j-1]=(f[i+1][j-1]+f[i][j]*j%p)%p;
        f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+f[i][j]*(i-j)%p)%p;
    }
    ans=(f[n][0]<<1)%p;//位运算加速
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}