Floyd-Warshall算法

　　Floyd也是采用动态规划的方案来解决在一个有向图G=（V，E）上每对顶点间的最短路径问题。运行时间为Θ（V³）。

算法分析：

　　用邻接矩阵map[][]存储有向图，用dist[i][j]表示i到j的最短路径。设G的顶点为V={1,2,3...n}，对于任意一对顶点i,j属于V，假设i到j有路径且中间节点皆属于集合{1,2,3...k}，P是其中的一条最小权值路径。就是i到j的最短路径P所通过的中间顶点最大不超过k。

　　设为从到的只以集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。

1. 若最短路径经过点k，则；
2. 若最短路径不经过点k，则。

　　因此，。

for k ← 1 to n do

  for i ← 1 to n do

    for j ← 1 to n do

      if (Di,k + Dk,j < Di,j) then

         Di,j←Di,k + Dk,j ;

 

实现代码：

/*************************************************************************

    > File Name: Floyd_Warshall.cpp

    > Author: He Xingjie

    > Mail: [email protected]

    > Created Time: 2014年06月12日 星期四 15时57分22秒

    > Description: 

 ************************************************************************/

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;



#define MAX 20

#define INF 65535



//map邻接矩阵，dist记录最短路径,path用于最短路径

int map[MAX][MAX], dist[MAX][MAX], path[MAX][MAX];



int Init()

{

    int n;



    cin>>n;

    for (int i=0; i<n; i++)

        for(int j=0; j<n; j++)

        {

            cin>>map[i][j];

            dist[i][j] = map[i][j];

            path[i][j] = 0;     

        }



    return n;

}



void Floyd(int n)

{

    int i, j, k;



    for (k=0; k<n; k++)

        for (i=0; i<n; i++)

            for (j=0; j<n; j++)

                if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] !=INF

                        && dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j])

                {

                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];

                    path[i][j] = k;        //i到j要经过K节点

                }

}



void PrintShortestPath(int i, int j)

{

    //递归打印最短路径

    

    if (path[i][j] == 0)    //表示i->j没有中间节点

    {

        printf("%d ", j+1);

        return;

    }

    else

    {

        PrintShortestPath(i, path[i][j]);

        PrintShortestPath(path[i][j], j);

    }

}



void PrintMap(int n)

{

    int i, j;



    for    (i=0; i<n; i++)

    {

        for (j=0; j<n; j++)

            cout<<dist[i][j]<<" ";

        cout<<endl;

    }

    cout<<endl;

}



int main()

{

    int n;



    freopen("input.txt", "r", stdin);

    n = Init();

    Floyd(n);

    PrintMap(n);



    for (int i=0; i<n; i++)

    {

        for (int j=0; j<n; j++)

        {

            if (i != j)

            {

                cout<<i+1<<" ";

                PrintShortestPath(i, j);

                cout<<endl;

            }

        }

        cout<<endl;

    }

    return 0;

}



2014/6/13  23：24

 输入数据：

5

0 3 8 65535 -4

655535 0 65535 1 7

65535 4 0 65535 65535

2 65535 -5 0 65535

65535 65535 65535 6 0

输出数据：

 

参考：

http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%BC%97%E6%B4%9B%E4%BC%8A%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95

http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/04/21/80579.aspx