大话数据结构 第六章 树（一） 树的定义与结构

树

定义

• 树是一种一对多的结构
• 树是n个结点的有限集。在任意一个非空树中：
• 【1】有且仅有一个特定的根结点；
• 【2】其余结点可以分为m个互不相交的有限集，其中每个集合本身又是一棵树，称为根的子树

结点分类

• 结点拥有的子树的数目称为结点的度，各结点的度的最大值被称为树的度
• 度为0的结点被称为叶结点或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点
• 结点的子树的根称为该节点的孩子，该结点称为孩子的双亲，同一个双亲的孩子之间互称兄弟

其他相关概念

• 层次：从根开始定义其，根为第一层，根的孩子为第二层，与双亲在同一层的结点互称堂兄弟。树中结点的最大层次称为数的深度或高度
• 森林是m棵互不相交的树的集合

树结构和线性结构的对比

树结构

• 根结点：无双亲，唯一；
• 叶节点：无孩子，可以多个；
• 中间结点：一个双亲多个孩子

线性结构

• 第一个数据元素：无前驱；
• 最后一个数据元素：无后继
• 中间元素：一个前驱一个后继

存储结构

双亲表示法

• 宗旨：除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲
• 以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置，结点结构为： data（数据域）, parent（指针域）
• 可以很好的找到双亲，但是想知道孩子是什么，需要遍历整个结构

孩子表示法

• 多重链表表示法：每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点。
• 方案【1】：按树的度分配空间。指针域的分数就等于树的度。当度相差很大时会造成空间的浪费
• 方案【2】：按需分配空间。每个结点指针域的个数等于该结点的度，专门取一个位置来存储结点指针域的个数，如：data，degree，child1，child2…由于结构不相同，在运算上会带来时间的损耗
• 孩子表示法：把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。有两种结点结构：
• 【1】孩子链表的孩子结点： child，next（指针域，存储指向某结点的下一个孩子结点的指针）
• 【2】表头数组的表头结点：data，firstchild（存储该结点的孩子链表的头指针）
• 查找孩子便利，但是查找双亲需要遍历整个结构
• 改进：孩子双亲表示法

孩子兄弟表示法

• 任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。
• 结点结构：data，firstchild，rightsib
• 中心思想是把一棵复杂的树变成一棵二叉树