SG函数的详细解释
SG函数可以说是博弈论中很重要的运用，有了SG函数就可以解决很多很难解决的博弈问题，也是解决例如nim博弈和翻硬币博弈的一些基础。
入门一：
首先来玩个游戏，引用杭电课件上的：
(1) 玩家：2人；
(2) 道具：23张扑克牌；
(3) 规则：
游戏双方轮流取牌；
每人每次仅限于取1张、2张或3张牌；
扑克牌取光，则游戏结束；
最后取牌的一方为胜者。
想一下。。
首先申明一点，博弈的讨论是在大家都玩的最好的情况下讨论的。（如果2个玩家智商有差别，那就没法讨论了～～～～开个玩笑哈。）
介绍概念：P点 即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；
N点 即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。
定理：
一、 所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）；
二、所有一步能走到必败点P的就是N点；
三、通过一步操作只能到N点的就是P点；
自己画下图看看。
x ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
pos：P N N N P N N N P N N 。。。
所以若玩家甲位于N点。只要每次把P点让给对方，则甲必胜；
反之，若玩家甲位于P点，他每次只能走到N点，而只要乙每次把P点让给甲，甲必败；
这里好好理解下；
如果上面的理解的。请解决下面的题目：HDU 1846 2147（注意题目限制内存）（先2道练练手，做不出的话提示：找规律）
接下来介绍Nim游戏（同样引用杭电上的，懒的打字）
1.有两个玩家；
2. 有三堆扑克牌（比如：可以分别是 5，7，9张）；
3. 游戏双方轮流操作；
4. 玩家的每次操作是选择其中某一堆牌，然后从中取走任意张；
5.最后一次取牌的一方为获胜方；
想一会：
还记得刚才说的P点和N点吗？P：必败点，N：必胜点
先给出结论，这里要用到位运算，异或:^
游戏的某个位置（x1,x2,x3) x1,x2,x3表示3堆的个数。当且仅当 x1^x2^x3=0时，此点才是必败点P；
结论可以推广到一般情况，即有n堆，(x1,x2,x3,...xn) 当且仅当x1^x2^x3...^xn=0时，此点才是必败点P；
如要看证明过程，链接在此 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617，看不懂的可以问 我（汗。。）
练习：HDU 2188 2149 （做不出的话先看下面的，然后多思考）
下面介绍sg函数（解决博弈问题的王道）
sg 即Graph Game，把博弈游戏抽象成有向无环图
(1) 有向无环图
(2) 玩家1先移动，起点是x0
(3) 两个玩家轮流移动
(4) 对于顶点x, 玩家能够移动到的顶点集记为F(x).
(5) 不能移动的玩家会输掉游戏
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整 数。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
定义: 一个图的Sprague-Grundy函数(X,F)是定义在X上的非负函数g(x)，并且满足：
g(x) = mex{g(y) : y∈F(x)}
看到这里先好好理解一下sg值是怎么求的；
如果在取子游戏中每次只能取{1,2,3}，那么各个数的SG值是多少？
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. . .
g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2. . .
看看这个和上面那个图的规律：
P-点: 即令 g(x) = 0 的 x 点！
N-点: 即令 g(x) > 0 的 x 点！
练习 HDU 1847 1849 1850 （做不出的话先看下面的，然后多思考）
最后看下组合博弈，就是把简单的游戏组合起来，比如3堆的可以看成3个一堆的游戏。
定理：
假设游戏 Gi的SG函数是gi, i=1,…,n, 则
G = G1 + … + Gn 的 SG函数是
g(x1,…,xn) = g1(x1)⊕…⊕gn(xn).
其中那个符合就是异或^
看看是不是和Nim游戏的结论差不多？
如果想理解原理链接在此：http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html
看完以上的，做完以下的练习。能理解完基本差不多可以算入门了：
HDU 1848 1517 1536（做不出就思考，思考，多看几遍）