【学习小记】Berlekamp-Massey算法
Preface
BM算法是用来求一个数列的最短线性递推式的。
形式化的，BM算法能够对于长度为n的有穷数列或者已知其满足线性递推的无穷数列 a a a，找到最短的长度为m的有穷数列 c c c，满足对于所有的 i ≥ n i\geq n i≥n，有 a i = ∑ j = 1 m c j a i − j a_i=\sum\limits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j} ai=j=1∑mcjai−j
Text
BM算法的流程十分简洁明了——增量，构造，修正。
方便起见，我们令a的下标从0开始，c的下标从1开始
假设我们当前构造出来的递推系数C是第 c n t cnt cnt版（经过cnt次修正）长度为 m m m，能够满足前 a 0 . . . a i − 1 a_0...a_{i-1} a0...ai−1项，记做 c n t C _{cnt}C cntC，初始时 c n t C _{cnt}C cntC为空,m=0
记 d i = a i − ∑ j = 1 m c j a i − j d_i=a_i-\sum\limits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j} di=ai−j=1∑mcjai−j
若 d i = 0 d_i=0 di=0，那么C符合的很好，不用管它
否则，我们需要进行一定的修正， c n t C _{cnt}C cntC需要变换到 c n t + 1 C _{cnt+1}C cnt+1C。
记 f a i l c n t = i fail_{cnt}=i failcnt=i表示 c n t C _{cnt}C cntC在 a i a_i ai处拟合失败。
若 c n t = 0 cnt=0 cnt=0，说明这是a的第一个非0元素，直接设 m = i + 1 m=i+1 m=i+1,在 C C C中填上i+1个0。显然这满足定义式（因为前m项是可以不满足递推式的）。
否则我们考虑如何构造，如果能找到一个 C ′ C' C′，满足对于 m ≤ j ≤ i − 1 m\leq j\leq i-1 m≤j≤i−1，都有 ∑ k = 1 m c k ′ a j − k = 0 \sum\limits_{k=1}^{m}c'_ka_{j-k}=0 k=1∑mck′aj−k=0，且 ∑ k = 1 m c k ′ a i − k = 1 \sum\limits_{k=1}^{m}c'_ka_{i-k}=1 k=1∑mck′ai−k=1
那么可以构造 c n t + 1 C = c n t C + d i C ′ _{cnt+1}C=_{cnt}C+d_iC' cnt+1C=cntC+diC′，显然这一定满足性质。其中加法为按项数对应加。
如何构造呢？我们可以利用之前的C！
找到某一个 k ∈ [ 0.. c n t − 1 ] k\in[0..cnt-1] k∈[0..cnt−1]
我们构造设 w = d i d f a i l k w={d_i\over d_{fail_k}} w=dfailkdi，构造 w C ′ = { 0 , 0 , 0 , 0 , . . . , 0 , w , − w ∗ k C } wC'=\{0,0,0,0,...,0,w,-w*{_{k}C}\} wC′={0,0,0,0,...,0,w,−w∗kC}
其中前面填上了 i − f a i l k − 1 i-fail_k-1 i−failk−1个0，后面相当于是 k C _kC kC乘上 − w -w −w接在了后面。
为什么这是对的？其实很简单，对于 a i a_i ai，带进去的算出来的东西相当于是 w ∗ a f a i l k − w ( a f a i l k − d f a i l k ) = w ∗ d f a i l k = d i w*a_{fail_k}-w(a_{fail_k}-d_{fail_k})=w*d_{fail_k}=d_i w∗afailk−w(afailk−dfailk)=w∗dfailk=di
而对于 m ≤ j ≤ i − 1 m\leq j\leq i-1 m≤j≤i−1，算出来的是正好是 w ∗ a j − ( i − f a i l k ) − w ∗ a j − ( i − f a i l k ) = 0 w*a_{j-(i-fail_k)}-w*a_{j-(i-fail_k)}=0 w∗aj−(i−failk)−w∗aj−(i−failk)=0，利用了 k C _kC kC在1到 f a i l k − 1 fail_k-1 failk−1都满足关系式，而在 f a i l k fail_k failk相差 d d d的性质。
此时我们还希望总的长度最短，也就是说 m a x ( m c n t , i − f a i l k + m k ) max(m_{cnt},i-fail_k+m_{k}) max(mcnt,i−failk+mk)最短。
我们只需要动态维护最短的 i − f a i l k + m k i-fail_k+m_{k} i−failk+mk即可，每次算出 c n t + 1 _{cnt+1} cnt+1时都与之前的k比较一下谁更短即可，这样贪心可以感受出来是正确的。
最坏时间复杂度显然是 O ( n m ) O(nm) O(nm)的
Code
LL rc[4*N],rp[4*N],le,le1,rw[4*N];
void BM()
{
le=le1=0;
memset(rc,0,sizeof(rc));//rc为当前构造出的递推系数列,le为当前系数列的长度
memset(rp,0,sizeof(rp));
int lf=0;LL lv=0;//
fo(i,0,n1)
{
LL v=0;
fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);
if(v==ap[i]) continue;
if(le==0) //如果是第一次出现0
{
le=i+1;
fo(j,1,le) rc[j]=rp[j]=0;
le1=0,lf=i,lv=(ap[i]-v)%mo;
continue;
}
v=(ap[i]-v+mo)%mo;//计算d_i
LL mul=v*ksm(lv,mo-2)%mo;//计算w
fo(j,1,le) rw[j]=rc[j];
inc(rc[i-lf],mul);//lf为上次存的最短的C'的失配位置
fo(j,i-lf+1,i-lf+le1) inc(rc[j],(mo-mul*rp[j-(i-lf)]%mo)%mo);
if(le<i-lf+le1)//如果当前的更短
{
swap(le1,le);
le=i-lf+le,lf=i,lv=v;
fo(j,1,le1) rp[j]=rw[j];
}
}
}