视觉SLAM十四讲（第二章作业）

熟悉Eigen矩阵运算

设线性⽅程 Ax = b，在 A 为⽅阵的前提下，请回答以下问题
1、在什么条件下， x 有解且唯⼀？
答：A是方阵，且可逆。
2、⾼斯消元法的原理是什么？
答：高斯消元法简介
3、QR分解的原理
答：QR分解介绍 注意：这里被分解矩阵A不一定是方阵，也可以是非方阵。Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
4、 Cholesky 分解的原理是什么？
答：Cholesky 注意：这里被分解的矩阵A必须是对称正定阵，L为下三角矩阵。
5、编程实现 A 为 100 × 100 随机矩阵时，⽤ QR 和 Cholesky 分解求 x 的程序。你可以参考本次课⽤到的 useEigen 例程。
答：不多说，直接上代码吧。注意：Cholesky分解的前提条件是A是对称正定阵。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define MATRIX_SIZE 2
using namespace std;
int main() {
    Eigen::Matrix matrix_100;//100*100的动态矩阵
    matrix_100 = Eigen::MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE,MATRIX_SIZE);//随机产生
    matrix_100 = matrix_100.transpose() * matrix_100;//产生对称矩阵
    cout< vnd;
    vnd = Eigen::MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE,1);
    Eigen::Matrix x;
    x = matrix_100.colPivHouseholderQr().solve(vnd);//QR分解的结果
    cout<

几何运算练习

**
设有⼩萝⼘1⼀号和⼩萝⼘⼆号位于世界坐标系中。⼩萝⼘⼀号的位姿为： q1 = [0:55; 0:3; 0:2; 0:2]; t1 =[0:7; 1:1; 0:2]T（q 的第⼀项为实部）。这⾥的 q 和 t 表达的是 Tcw，也就是世界到相机的变换关系。⼩萝⼘⼆号的位姿为 q2 = [−0:1; 0:3; −0:7; 0:2]; t2 = [−0:1; 0:4; 0:8]T。现在，⼩萝⼘⼀号看到某个点在⾃⾝的坐标系下，坐标为 p1 = [0:5; −0:1; 0:2]T，求该向量在⼩萝⼘⼆号坐标系下的坐标。请编程实现此事，并提交你的程序。**
答：上代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int main() {
    Eigen::Quaterniond q1(0.55,0.3,0.2,0.2);
    q1 = q1.normalized();
    Eigen::Quaterniond q2(-0.1,0.3,-0.7,0.2);
    q2 = q2.normalized();
    Eigen::Matrix transfor1;
    transfor1<<0.7,1.1,0.2;
    Eigen::Matrix transfor2;
    transfor2<<-0.1,0.4,0.8;
    Eigen::Matrix p1;
    p1<<0.5,-0.1,0.2;
    /*
    Eigen::Vector3d res1;
    res1 = q1.inverse()*p1;
    cout<

旋转的表达

1、设有旋转矩阵 R，证明 R^TR = I 且 det R = +1^2。
答：直接上图吧，字写得丑多见谅。
2、设有四元数 q，我们把虚部记为 e，实部记为 η，那么 q = (e; η)。请说明e和η的维度。
答：还是直接上图。
3、请证明对任意单位四元数 q1, q2，四元数乘法可写成矩阵乘法。

罗德里的式公式证明

上图，打公式太累了，自己按照图片上的公式推一遍就很清晰了。参考资料来自严恭敏严老师的惯性导航讲义。

四元数运算性质的验证

熟悉C++11