【学习小结】拉格朗日插值

什么是拉格朗日插值

给出N+ 1个点值求解一个n次多项式的系数

当然，其实我们不一定关心系数，插值是用较小的（好求）的点值求较大的难求的点值，所以只需要O(n)求值就行了

**于是我们就有了重心插值公式： $$g(x)=l(x)\sum _{i=1}^n\frac{{\omega }_i}{(x-x_i)}$$ , 其中 $${\omega }_i=\frac{y_i}{\prod _{j̸=i}(x_i-x_j)}$$ **

只需将两部分分开维护，每次加入一个点暴力更新l(x)和wi，而查询的时候分别算点值再乘起来
若x是已求的值，则需要直接返回点值，不能代入多项式计算

关于插值的推导

插值的优化

如果我们代入的点xi是连续的，可以用最原始的公式O（n）求出一个大点的点值
详见这里

当然，可以用多项式技巧快速插值 虽然是O(nlog³n)
详见这里

插值法的用途

有很多递推式，n很大（比如1e9），但是其实是关于n的k次多项式（k一般是1000左右），于是代入很小的n计算出多项式，再插值出答案。有些题目的复杂度瓶颈在于求点值，一般是k^2的，而插值可以用取值点连续优化到O(k)

下面是例题

bzoj 3453: tyvj 1858 XLkxc
my code
维护多个不同多项式还是应该写成struct

关于幂和是k+1次多项式，前面加两个求和符号，变成k+3次，分别插值，先求g(n),在求答案，复杂度O(k^2)

而且得出了两个结论：
1.每个求和号一般会增加多项式次数1.
2.插值可以嵌套。
特别是第二点，基本上可以在O(k2)解决所有跟多项式有关的题。

bzoj 2655
my code

显然是关于A的多项式，至于次数，是2 * n。考虑我们代入A < n答案是0，所以可以猜2 * n嘛

再感性理解一下，n个变量取值与A有关，应该是多项式次数O(n)级别的

然后对于小的值，直接暴力dp就好了，F[i][j]表示考虑到大小为i的数，选了j个。不用容斥，想麻烦了

bzoj4559 成绩比较
my code

这道题把每个科目分开考虑，分开插值求方案数。

然后用dp来考虑K个被碾压的限制，如果容斥的话（枚举至少k人被碾压）需要把每个科目重新插值，没有必要，也会T

我们再来看幂和

这是模板题
拉格朗日插值给出了另一种O(klogk)的做法
my code

用快速幂求n=0,1,…,k的幂和，再暴力插值。这里正如前面提到的，因为代入x连续，求点值是O(k)的。化成阶乘就好

我们也可以用第二类斯特林数求幂和

$$S(n)=\sum _{j=0}^k\ast S(k,j)\ast j!\ast C(n+1,j+1)$$