控制系统--线性定常数系统的传递函数

• 定义

  在零初始条件下，系统输出量与输入量之比的Laplace transform
  其中零初始状态表明

  1. 在$t=0$时刻输入量作用于系统，在此之前为0
  2. 在输入量作用之前，系统输出为0

• 描述形式

  1. 多项式形式
     $$H(s)=\frac{b_0{s}^m+b-1s^{m-1}+\cdots b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}$$
     通常$H(s)$为真分式，也就是$n\ge m$，且各项系数均为实数，这样的传递函数才具有物理可实现性。系数均为实数不用过多解释，没有人能给我2i个小姐姐；分母阶次要高于分子阶次是因为系统具有惯性，如果超过则对应一个超前部分，这是非因果的，显然是物理不可实现

  2. 根轨迹
     $$H(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}=K\frac{{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}$$

  3. 频率法形式
     $$H(s)=\frac{b_m({\tau }_{1}s+1)({\tau }_{2}s+1)\cdots ({\tau }_{x}s+1)({\tau }_{11}^2{s}^2+{\tau }_{12}s+1)\cdots ({\tau }_{y1}^2+{\tau }_{y2}s+1)}{a_n(T_{1}s+1)(T_{2}s+1\cdots (T_{p}s+1)(T_{11}^2{s}^2+T_{12}+1)\cdots (T_{q1}^2{s}^2+T_{q2}s+1)}$$

• 性质

  1. 传递函数仅仅由系统内部结构有关，与输入无关
  2. 传递函数可视为黑盒模型，描述输入输出关系，反应该系统对外界输入的响应，略去了内部结构
  3. 传递函数与微分方程及初始条件一一对应
  4. 初值不同，对同一输入可能导致输出不同(蝴蝶效应) 在零状态下不做过多讨论，仅了解

最后，特别指出，以单位脉冲信号$\delta (t)$作为输入时所输出的单位冲激响应$h(t)$与传递函数$H(s)$为拉普拉斯变换对

$$g(t)=\delta (t)\ast h(t)\to G(s)=1\cdot H(s)$$