欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应分析

二阶系统标准形式
$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
极点为：
$$s=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$
当$0<\zeta <1$时，称为二阶欠阻尼系统。此时系统极点为一对共轭负根
$$s=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$
对应的大致冲击响应为 具体过程暂无
$$\varphi (t)=e^{-at}sin(\omega t+\beta )$$
可见呈阻尼震荡的运动模态

现在分析，在输入$r(t)$为阶跃信号$\epsilon (t)$时，二阶欠阻尼系统的输出信号$c(t)$
$$\begin{array}{rl}C(s)& =R(s)\cdot \Phi (s)\\ & =\frac{1}{s}\cdot \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}\end{array}$$
将系统传递函数分母配方
$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_n^2(1-{\zeta }^2)}$$
记${\omega }_n^2(1-{\zeta }^2)$为${\omega }_d^2$ ，$C(s)$部分分式分解
$$\frac{b_1}{s}+\frac{a_{1}s+b_2}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}+\frac{b_3}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}$$
得待定系数方程
$$\{\begin{array}{l}{b}_1+a_1=0\\ 2\zeta {\omega }_n{b}_1+b_2+b_3=0\\ {\omega }_n^2{b}_1={\omega }_n^2\end{array}$$
这里取$b_2=b_3=\zeta {\omega }_n$，故$C(s)$分解为
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta {\omega }_n}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}-\frac{\zeta {\omega }_n}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\omega }_d^2}$$
根据Laplace变换表得
$$\begin{array}{rl}c(t)& =\epsilon (t)-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\cos {\omega }_{d}t-\frac{\zeta {\omega }_n}{{\omega }_d}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin {\omega }_{d}t\\ & =\epsilon (t)-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\cos {\omega }_{d}t-\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin {\omega }_{d}t\\ & =\epsilon (t)-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}(\cos {\omega }_{d}t+\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin {\omega }_{d}t)\\ & =\epsilon (t)-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\cdot \sqrt{1+\frac{{\zeta }^2}{1-{\zeta }^2}}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )\\ & =\epsilon (t)-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\cdot \sqrt{\frac{1}{1-{\zeta }^2}}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )\end{array}$$

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳定的，最终趋向于单位阶跃信号
其中
$\beta =\arctan \frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }$为输出相位延迟(滞后角)
${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$为阻尼振荡频率
$\sigma =\zeta {\omega }_n$衰减系数
可见，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应完全由系统参数$\zeta$和${\omega }_n$决定

然后再来看系统性能指标

• 上升时间$t_r$：阶跃响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。对于有振荡的系统，也可定义为响应从0第一次上升到终值所需的时间。
  故令$c(t)=1$即
  $$\begin{gathered} 1-e^{-\sigma t}\sqrt{\frac{1}{1-{\zeta }^2}}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )=1 \\ \Rightarrow \sin ({\omega }_{d}t+\beta )=0 \end{gathered}$$
  解得$t=\frac{k\pi -\beta }{{\omega }_d}$,由于$t\ge 0$，故$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$

• 峰值时间$t_p$：阶跃响应曲线越过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
  根据导数在极值点为0可知：
  $$\begin{array}{rl}\frac{dc(t)}{dt}& =\frac{\zeta {\omega }_n}{\sqrt{1-{\zeta }^2}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )-\frac{{\omega }_d}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{\zeta {\omega }_{n}t}\cos ({\omega }_{d}t+\beta )\\ & =\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}[\zeta {\omega }_n\sin ({\omega }_{d}t+\beta )-{\omega }_d\cos ({\omega }_{d}t+\beta )]\end{array}$$
  令$\frac{dc(t)}{dt}{\mid }_{t=tp}=0$，即
  $$\frac{e^{-\zeta {\omega }_n{t}_p}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}[\zeta {\omega }_n\sin ({\omega }_d{t}_p+\beta )-{\omega }_d\cos ({\omega }_d{t}_p+\beta )]=0$$
  由于$\frac{e^{-\zeta {\omega }_n{t}_p}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\ne 0$,所以上式变为
  $$\begin{array}{rl}\zeta {\omega }_n\sin ({\omega }_d{t}_p+\beta )-& {\omega }_d\cos ({\omega }_d{t}_p+\beta )=0\\ \tan ({\omega }_d{t}_p+\beta )& =\frac{{\omega }_d}{\zeta {\omega }_n}\\ {\omega }_d{t}_p+\beta =k\pi & +\arctan \frac{{\omega }_d}{\zeta \omega }\end{array}$$
  带入$\beta$和${\omega }_d$的表达式，及$t_p$定义得
  $$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$$

• 调节时间$t_s$：阶跃响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围(误差带：通常取±5%或±2%)内，所需的最短时间。

• 超调量：阶跃响应曲线的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比
  
  最大超调量在峰值时间发生，故
  $$\begin{array}{rl}\varphi (t_p)& =1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_d{t}_p+\beta )\\ & =1+e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\end{array}$$
  可知
  $$\begin{array}{rl}{\sigma }_p\%& =\frac{\varphi (t_p)-\varphi (\infty )}{\varphi (\infty )}\times 100\%\\ & =e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-zet{a}^2}}}\times 100\%\end{array}$$

• 稳态误差$e_{ss}$：阶跃响应曲线的实际稳态值与给定值之差
  $$e_{ss}=R-C(\infty )$$