欧拉角

欧拉角（Euler Angles）用来描述坐标轴的旋转。

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• 坐标轴
  
  原始坐标轴记为$x-y-z$，旋转后坐标轴记为$X-Y-Z$，坐标轴原点记为$O$。$N$轴为$XY$与$xy$两平面的交线，$N=z\times Z$。

旋转后坐标轴	方向余弦
$X$	$l_1$ $m_1$ $n_1$
$Y$	$l_2$ $m_2$ $n_2$
$Z$	$l_3$ $m_3$ $n_3$

则有
$$\{\begin{array}{l}x=l_{1}X+l_{2}Y+l_{3}Z\\ y=m_{1}X+m_{2}Y+m_{3}Z\\ z=n_{1}X+n_{2}Y+n_{3}Z\end{array}$$

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• 欧拉角

旋转后坐标轴可用三个欧拉角确定。

1. 章动角$\theta$（$\beta$）为$Z$与$z$两轴正向夹角，$0\le \theta <\pi$。
2. 进动角$\psi$（$\alpha$）为$N$与$x$两轴的夹角，$0\le \psi <2\pi$；面对$z$轴正向，$\psi$按逆时针方向从$x$轴开始计算。
3. 自转角$\phi$（$\gamma$）为$N$与$X$两轴的夹角，$0\le \phi \le 2\pi$；面对$Z$轴正向，$\phi$按逆时针方向从$X$轴开始计算。

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若设

$$\begin{array}{cccc}& c_1=\cos \theta ,& c_2=\cos \psi ,& c_3=\cos \phi \\ & s_1=\sin \theta ,& s_2=\sin \psi ,& s_3=\sin \phi \end{array}$$

则

$$\begin{array}{ccc}{l}_1=c_2{c}_3-c_1{s}_2{s}_3,& m_1=s_2{c}_3-c_1{c}_2{s}_3,& n_1=s_1{s}_3\\ l_2=-c_2{c}_3-c_1{s}_2{c}_3,& m_2=-s_2{s}_3-c_1{c}_2{c}_3,& n_2=s_1{c}_3\\ l_3=s_1{s}_2,& m_3=-s_1{c}_2,& n_3=c_1\end{array}$$

变换行列式
$$△=\left|\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\\ n_1& n_2& n_3\end{array}\right|=\pm 1$$

当右手系变为右手系（或者左手系变为左手系）时，$△=1$；当右手系变为左手系（或者左手系变为右手系）时，$△=-1$

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参考：《数学手册》，高等教育出版社，1979