离散数学---最大元、极大元

下面这两段话好好理解，就明白极大元和最大元的区别了

1、极大元是没有别的元素比它大，即别的元素要么和极大元不可比，只要能比，就一定小于等于极大元；
最大元是它比别的元素都大，即别的元素与最大元都可比，而且比较的结果一定是小于等于最大元。

2、极大元是没有元素比极大元还大，但是这并不是说极大元只有一个，比如"V"型的偏序，极大元就有两个，不存在底部元素x比顶点那两个还大，但是那两个谁大是不能比较的，所以都是极大元，没有最大元。如果偏序像“A”,那么就只有一个极大元，极大元也是最大元，无论偏序是怎样的，最大元只能有一个。

下面为书上的定义：

设(A, ≤)是一偏序集合，B是A的子集。

最大元素、最小元素：

(1)元素b∈B是B的最大元素，如果对每一元素x∈B，x≤b
(2)元素b∈B是B的最小元素，如果对每一元素x∈B，b≤x
即：对于每一个元素，都能满足这样的偏序关系。
定理：如果B存在最大（最小）元素，那么它是唯一的。
例：如果B = {2, 3}，偏序关系为“整除”，因为2和3互相不能整除，那么B没有最小元素和最大元素。

极大元素、极小元素：

(1)如果b∈B，且B中不存在元素x，使b≠x且b≤x，那么元素b∈B叫做B的极大元素。
(2)如果b∈B，且B中不存在元素x，使b≠x且x≤b，那么元素b∈B叫做B的极小元素。
即：对于极大元素，不存在元素在它偏序关系之上。
对于极小元素，不存在元素在它偏序关系之下。

注意：B的最大(小)元素和极大(小)元素都必须是子集B的元素，而B的上界(下界)和最小上界(最大下界)可以是也可以不是B的元素。在定义中并没有保证这些元素的存在。在许多情况下他们是不存在的。

上界、下界：

(1)如果对每一b∈B，b≤a，那么元素a∈A叫做B的上界；
(2)如果对于如果对每一b∈B，a≤b，那么元素a∈A叫做B的下界；
上界、下界是A集合里的，可以存在很多个，也可以不存在
也就是说求上界的时候，对于每一个B里面的元素，都要和它上界们满足偏序关系，所以在集合B里面的不能有两个及以上，因为同时选择两个的话，就不满足B里面任何元素都要满足偏序关系了。

上确界、下确界：

(1)如果a是一上界并且对每一B的上界a’有a≤a’，那么元素a∈A叫做B的最小上界，记作lub；
(2)如果a是一下界并且对每一B的下界a’有a≤a’，那么元素a∈A叫做B的最大下界，记作glb
最大下界和最小上界可能存在也可能不存在，如果它们存在，则是唯一的。

极大元素，就是没有比它更大的元素（可比较的情况下）
极小元素，就是没有比它更小的元素（可比较的情况下）

求极大值/极小值的时候，因为只要是所有元素没有不满足的就可以，所以可以选择两个以上，其中可以有不和元素连线的。

最大元素，就是所有其他元素都比它小（与其他元素都可以比较）
最小元素，就是所有其他元素都比它大（与其他元素都可以比较）

如果最大值/最小值/上确界/下确界存在，那么一定是唯一的

上界，就是元素比指定集合内中所有元素都大（且与这些元素都可以比较）
最小上界，就是上界中最小的元。
下界，就是元素比指定集合中所有元素都小（且容与这些元素都可以比较）
最大下界，就是下界中最大的元。

求上界/下界，因为是和最大最小值一样是所有的必须满足条件，所以所有元素都是要求有连线的，所以不可能存在两个及以上的元素在B集合里面。