算法笔记-字符串匹配算法

在实际开发过程中，总会遇到字符串匹配或者是包含的问题。而通用的编程语言中，基本上都有实现字符串匹配的方法。例如：Java 中的 indexof() 方法，底层的实现就是用的字符串匹配的算法。本文总结两种比较简单，容易理解的两种字符串比较算法：BF 算法和 RK 算法。

BF 算法

BF 算法，中文叫做暴力匹配算法，又叫朴素算法。

在 BF 算法中我们首先需要了解两个概念：主串和模式串。举个例子，如果我们要在字符串 A 中查找是否包含字符串 B，那么 A 就叫主串 B 就叫模式串。主串长度记为 n，模式串长度记为 m。

BF 算法中，我们分别在0，1，2… n-m 的位置检查长度为 m 的 n - m + 1 个子串，看看有没有跟模式串匹配的子串。检查过程图如下：

通过删除的过程，我们已经明白的 BF 算法执行的过程和原理。假如主串是 “aaaaaaaaaaaaaa”，模式串为 “aaaaab”，那么每次都要对别 m 的字符串，一共对比 n - m + 1 次。由此得出最坏情况下时间复杂度为 O(m * n)。

虽然 BF 算法的时间复杂度理论上很高，但是在实际情况中应用确是很多。主要是因为以下两种原因：1：实际业务中主串和模式串一般不会很长，都是很短的字符串，所以 O(n * m) 的时间复杂度是很小的。2：该算法实现起来简单，容易理解，所以出问题易排查。

RK 算法

在 BF 算法的基础上，我们引入哈希函数，就能降低它的时间复杂度，从而出现了 RK 算法。

RK 算法的思想：我们通过对主串中 n - m + 1 个子串哈希求值，然后对模式串也哈希求值，那么后续的比较就是关于哈希值的比较了(不考虑哈希冲突)，降低了比较的时间复杂度。

比较的时间复杂度降低了，但是计算子串和模式串的哈希值依旧需要遍历每一个字符串，算法的整体时间复杂度没有提高。下面用一种巧妙的哈希算法提高计算哈希值的效率。

假设待比较的字符串的字符集包含 k 个字符，我们用一个 k 进制来表示一个子串，这个 k 进制转化为十进制，用来表示子串的哈希值。举例：如果我们的主串所在的字符集只有 a~z 的 26 个小写字母，那么我们用二十六进制表示字符串。a 对应 0，b 对应 1，一直到 z 对应 25。

下面上图解释如何用二十六进制表示子串：

实际运用：

由上图得出规律：子串 s[i] 和子串 s[i - 1]是有关系的。i 代表子串开始的位置，子串的长度是 m。接下来我们推导出 子串 s[i] 和子串 s[i - 1] 之间哈希值的关系公式：

公式：
	h[i] = 26*(h[i-1]-26^(m-1)*(s[i-1]-'a')) + (s[i+m-1]-'a');
解释：
	h[i-1]-26^(m-1)*(s[i-1]-'a')：子串s[i-1]去掉第一个字符后的哈希值
	(s[i+m-1]-'a')：子串s[i]最后一个字符的哈希值
	其中, h[i]、h[i-1] 分别对应 s[i] 和 s[i-1] 两个子串的哈希值

在上述计算哈希值的过程中，26^0 ……26^(m - 1)的值，我们可以预先计算好存储起来，需要用的时候直接获取，不用每次计算。

RK 算法中，主要包含两部分：计算子串哈希值，子串与模式串哈希值的比较。第一部分，通过上述特殊设计的哈希算法，只需要扫描一次就能计算出所有子串的哈希值，时间复杂度为 O(n)。第二部分，子串与模式串的比较，总共比较 n - m + 1 次，所以时间复杂对 O(n)。所以，RK 算法的整体时间复杂度为 O(n)。

RK算法的补充

如果模式串很长，对应的子串就会也很长，哈希值有可能超出整形数据范围。

首先，上述哈希算法的设计是没有散列冲突的。因为我们是基于进制来表示字符串，所以是有限的字符串对应有限的哈希值，保证了不会散列冲突。

为了保证数据落入整形数据范围中，可以牺牲一下，适当的允许散列冲突。26 个小写字母依旧与 0 到 25 一一对应，当我们计算哈希值的时候，将所有字符串对应的数字相加，最后的结果作为哈希值。这样的设计，就保证最后的哈希值一定落在整形数据范围。

当哈希值冲突的时候，我们再对子串和模式串进行字符一一对比，这样就解决了哈希冲突。

所以，哈希函数的设计要保证冲突不能太高。如果极端情况下，子串的哈希值都冲突，那么就退化成子串与模式串的字符一一比较了，时间复杂度就退化成 O(n * m)。但是，一般情况下，只要冲突不多， RK 算法的时间复杂度还是小于 BF 算法的时间复杂度的。

总结

本文创作灵感来源于 极客时间 王争老师的《数据结构与算法之美》课程，通过课后反思以及借鉴各位学友的发言总结，现整理出自己的知识架构，以便日后温故知新，查漏补缺。

初入算法学习，必是步履蹒跚，一路磕磕绊绊跌跌撞撞。看不懂别慌，也别忙着总结，先读五遍文章先，无他，唯手熟尔~
与诸君共勉

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