由二阶常系数线性方程的通解反推方程

由二阶常系数线性方程的通解反推方程

@(微积分)

引例是这样的：

设 cosx 与 xex 为某n阶常系数线性齐次方程的两个解，则最小的n = ？，相应的首项系数为1的方程是？

分析：由cosx是一个解，则必有另一解sinx, ±i 是它的特征根； xex 是一个解，则必有另一解 ex ,则1必是二重特征根。所以，n至少为4.特征方程可以列举如下：

(r−i)(r+i)(r−1)2=0→r4−2r3+2r2−2r+1=0→y(4)−2y(3)+2y(2)−2y′+y=0

这样的思路看起来非常简单，但是如果不能正确把握齐次方程的解结构以及背后的原理，很难做出这样的推断。

因此，引例过后，是对问题的原理回顾。

即：二阶常系数线性微分方程的通解公式，以及相应的理解。

首先我们知道给定一个二阶常系数微分方程：

y″+py′+qy=0

马上可以得到一个特征方程，然后求解特征方程的解。这个过程好像线性代数中的线性方程组时求解特征值。

• 两个不相等的实根： r1≠r2→y=C1er1x+C2er2x

• 两个相等的实根： r1=r2=r→y=(C1+C2x)erx

• 两个不相等的复根： r1,r2=α±βi→y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

由此顺便推演一下非齐次微分方程的特解结构的两种：

方程1

y″+py′+qy=Pm(x)eax,Pm(x)表示的是x的m次已知多项式

令特解 y∗=xkQm(x)eax,Qm(x)是x的m次多项式，待定系数,k也待定
且，

k=⎧⎩⎨⎪⎪0,1,2,当a不是特征根时当a是单重特征根时当a是二重特征根时

所以给定一个非齐次方程，特解结构是很容易写出的，形式规整。可以总结为仅仅在右半部乘上一个 xk ,且多项式系数要重新修正。
反之，给定一个特解结构，也能迅速还原右半边：除了 xk 这个是我们自己补的，其他的直接代回去，只不过呢，多项式的系数要重新计算调整。此外， xk 可能与多项式纠缠在一起，没法不知道抽出来多少，那么就根据指数 eax 的a与特征方程进行比较即可。

方程2

y″+py′+qy=Pm(x)eαxcosβx

y″+py′+qy=Qm(x)eαxsinβx

y″+py′+qy=Pm(x)eaxcosβx+Qm(x)eαxsinβx=(Pm(x)cosbx+Qm(x)sinβx)eαx

很显然，这和复数相关。

于是：

y∗=xk(Rm(x)cosβx+Sm(x)sinβx)eαx

k={0,1,当α+βi不是特征根时当α+βi是单重特征根时

在齐次方程的通解结构中，可以根据：

• 两个不相等的实根： r1≠r2→y=C1er1x+C2er2x

• 两个相等的实根： r1=r2=r→y=(C1+C2x)erx

• 两个不相等的复根： r1,r2=α±βi→y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

推导。比如有个根是 kxex ,则马上就能锁定到是两个相等实根的类型，那么必有另一个根 ex ,且 r=1 是二重特征值。
但是仅仅知道 ex 是一个根，推导不出来 kex 。
而如果告知 sinx或者cosx 是一个根，那么 cosx或sinx 必然也是一根，且 α=0,β=1

这种在解结构特征上做的文章更能考察对这个部分知识的掌握程度。比单纯计算要来的更难一些。需要更细微的思考。