数学·Euler函数·证明及其求法

欧拉函数是求解n以内和n互质的数的个数的函数。

性质1· Euler（mn） = Euler(m) * Euler(n);

性质2· Euler（m^n） = m^n - m^(n-1) = m^n * (1 - 1/m);

性质3· n = p1^k1 * p2^k2 * p3^ k3 ........;

综上可知：

Euler(n)= Euler（p1^k1 * p2^k2 * p3.....）;

            = Euler(p1^k1) * Euler(p2^k2) *.....;

            = p1^k1* p2^k2* p3^k3* ..(1-1/p1)* (1-1/p2) * (1-1/p3)...;

            = n*(1- 1/p1) * (1-1/p2) * .....;

p1,p2,p3,..为n的质因数；

某犇博客：想点就点

求法：

（1） 直接线性：

int Euler(int n) {
    int res = n;
    int a = n;
    for (int p = 2; p < n; p ++) {
        if (n % p == 0) {
            res = res/p *(p-1);
            while(n%p == 0) {
                n /= p;
            }
        }
    }
    if (a > 1) {
        res = res/a * (a-1);
    }
    return res;
}

（2） 筛法：

    

int eul[maxn];
int Euler() {
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        eul[i] =i;
    }
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (eul[i] == i) {
            for (int j = i; j < maxn; j += i) {
                eul[i] = euler[j]/i * (i-1);
            }
        }
    }
}