南昌邀请赛网络赛 G. tsy's number（莫比乌斯反演+线性筛）

题目链接：

tsy's number

 

题意：

求    (mod ) 

 

思路：

原式 = 

设  

设 

原式 = 

设T = id ，将 i 的求和变为 T 的求和：

原式 =  

：这个是 与  的迪利克雷卷积，并且g(x)与f(x)均为积性函数，因此该函数也为积性函数，可通过线性筛O(n)求解。

处理上述积性函数前缀和，对原式前半部分的  进行数论分块即可，单次询问复杂度 O(sqrt(n)) 。

线性筛：

1. i = p，p为质数时，

2. i 为合数：

    i%prime[j] != 0：

    i%prime[j] == 0：分两种情况：

    <1> i 中只有一个prime[j]的因子：

            

    <2> i 中存在  的因子，k>=2

          

 i%prime[j] == 0要分两种情况是因为 中，(T/d)可能%p == 0，可能 != 0 。

若 i % p ==0 ， 

若 i % p !=0 ， 

 

Tips： 与2和6不互质，除以2，除以6的时候不能算逆元。

 

Code:

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e7 + 10;
const ll inf = 1e18;
const ll mod = 1ll << 30;

ll m, n, p;
ll prime[MAX + 10], sum[MAX + 10];
int vis[MAX + 10];

void init()
{
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	sum[1] = 1;
	int tot = 0;
	for (int i = 2; i <= MAX; i++) {
		if (!vis[i]) {
			prime[++tot] = i;
			sum[i] = 1ll * i * i%mod*i%mod*(i - 2) % mod;
		}
		for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= MAX; j++) {
			vis[i*prime[j]] = 1;
			if (i%prime[j] == 0) {
				if ((i / prime[j]) % prime[j] != 0) {
					ll tmp1 = sum[i / prime[j]] * prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod*(prime[j] - 1) % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod;
					ll tmp2 = sum[i / prime[j]] * prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod*(prime[j] - 1) % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod;
					sum[i*prime[j]] = (tmp1 - tmp2 + mod) % mod;
				}
				else {
					sum[i*prime[j]] = sum[i] * prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod*prime[j] % mod;
				}
				break;
			}
			else {
				sum[i*prime[j]] = sum[i] * sum[prime[j]] % mod;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= MAX; i++) {
		sum[i] = (sum[i] + sum[i - 1]) % mod;
	}
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	init();
	while (T--)
	{
		ll n;
		scanf("%lld", &n);
		ll ans = 0;
		ll pos = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i = pos + 1) {
			pos = n / (n / i);
			ll w = n / i;
			ll tmp1 = (1 + w) *w / 2 % mod;
			ll tmp2 = w * (w + 1) / 2;
			if (tmp2 % 3 == 0)	tmp2 = tmp2 / 3 % mod*(2 * w + 1) % mod;
			else tmp2 = tmp2 % mod*((2 * w + 1) / 3 % mod) % mod;
			ll tmp = w * tmp1%mod*tmp2%mod;
			ans = (ans + (sum[pos] - sum[i - 1] + mod) % mod*tmp%mod) % mod;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}