几何变换（二维、三维）

几何变换

窗口区到视图区的坐标变换

    实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。

  

比例关系，两者的变换公式为：

   

可以简单地将两者的关系表示为：

    

 

二维图形的几何变换

    正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是： 
                  
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。
1）平移变换 


2）缩放变换 


3）旋转变换



4）对称变换

对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：

1. 当b=d=0，a=-1，e=1时有x^´=-x，y^´=y，产生与y轴对称的图形。

2. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x^´=x，y^´=-y，产生与x轴对称的图形。

3. 当b=d=0，a=e=-1时有x^´=-x，y^´=-y，产生与原点对称的图形。

4. 当b=d=1，a=e=0时有x^´=y，y^´=x，产生与直线y=x对称的图形。

5. 当b=d=-1，a=e=0时有x^´=-y，y^´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

5）错切变换

当d=0时，x^´=x+by，y^´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值  （x，y）及变换系数b作线性变化。

当b=0时，x^´=x，y^´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值  （x，y）及变换系数d作线性变化。

6）复合变换

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：

复合平移

对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：

复合缩放

两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：

复合旋转

两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（x_f，y_f）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（x_f，y_f）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。

关于（x_f，y_f）点的缩放变换

绕（x_f，y_f）点的旋转变换

三维几何变换

1. 由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：
   
   
   

     1）平移变换

     参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：

     

     2）缩放变换
    直接考虑相对于参考点（x_f，y_f，z_f）的缩放变换，其步骤为：

     A. 将平移到坐标原点处；
     B. 进行缩放变换；
     C. 将参考点（x_f，y_f，z_f）移回原来位置
       则变换矩阵为：
      
    3）绕坐标轴的旋转变换 
    三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q 角的变换：

     A.绕x轴旋转

    

     B.绕y轴旋转

    

     C.绕z轴旋转

    

     
     

三维空间的平移、旋转及缩放示意图

   4）绕任意轴的旋转变换
   设旋转轴AB由任意一点A（x_a，y_a，z_a）及其方向数(a，b，c)定义，

      

   可以通过下列步骤来实现P点的旋转：

     A. 将A点移到坐标原点。

     B. 使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合。

     

     D.作上述变换的逆操作，使AB回到原来位置。

是AB在YOZ平面与XOZ平面的投影与Z轴的夹角。