拟合算法
拟合算法 什么时候用？
拟合算法 的结果是得到一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数），且曲线不需要一定经过给定的点
拟合算法 非常适合样本数据较多的情况（即大于30）
演示拟合法在实践中的用途
选定你认为最合适的拟合函数，并作出 2019-2020 年的预测图
一、预处理
将题目数据导入 Matlab 中，并根据样本点做出如下散点图
由图可知，人口增长曲线有很明显的直线特征，故我们令其函数表达式为 y = k x + b y=kx+b y=kx+b
二、求解最小二乘法
先令拟合值 y ^ i = k x i + b \hat{y}_{i}=k x_{i}+b y^i=kxi+b
那么 k ^ , b ^ = arg min k , b ( ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 ) = arg min k , b ( ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 ) \hat{k}, \hat{b}=\underset{k, b}{\arg \min }\left(\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}\right)=\underset{k, b}{\arg \min }\left(\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-k x_{i}-b\right)^{2}\right) k^,b^=k,bargmin(∑i=1n(yi−y^i)2)=k,bargmin(∑i=1n(yi−kxi−b)2)
我们不妨令 L = ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 L=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-k x_{i}-b\right)^{2} L=∑i=1n(yi−kxi−b)2，现要找 k , b k,b k,b 使得 L L L 最小
经过一系列数学运算，最终我们得到 ：
三、模型求解
利用 Matlab 软件，我们求解得 k ^ = 702.4 , b ^ = − 1.278 e + 06 \hat{k}=702.4, \hat{b}=-1.278e+06 k^=702.4,b^=−1.278e+06，作出预测图
四、多次拟合
为了保证拟合结果的准确性，我们利用 Matlab 自带的 cftool 工具箱，它是一款强大的曲线拟合工具，并从中选取了一些常见的拟合函数，并进行对比分析，结果如下表所示：
函数类型 D e g r e e S S E R 2 polynomial 1 9.166 × 1 0 4 0.9978 polynomial 2 9662 0.9998 polynomial 3 1493 1.0000 exponential − 6.951 × 1 0 4 0.9983 Gaussian − 6.961 × 1 0 4 0.9983 power − 7.15 × 1 0 4 0.9982 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text { 函数类型 } & \mathrm { Degree } & \mathrm{ SSE } & \mathrm{ R^2 } \\ \hline \text { polynomial } & 1 & 9.166 \times 10^{4} & 0.9978 \\ \hline \text { polynomial } & 2 & 9662 & 0.9998 \\ \hline \text { polynomial } & 3 & 1493 & 1.0000 \\ \hline \text { exponential } & - & 6.951 \times 10^{4} & 0.9983 \\ \hline \text { Gaussian } & - & 6.961 \times 10^{4} & 0.9983 \\ \hline \text { power } & - & 7.15 \times 10^{4} & 0.9982 \\ \hline \end{array} 函数类型 polynomial polynomial polynomial exponential Gaussian power Degree123−−−SSE9.166×104966214936.951×1046.961×1047.15×104R20.99780.99981.00000.99830.99830.9982
结论： 多项式逼近中， R 2 \mathrm{R^2} R2 越接近 1 1 1，说明误差平方和（ S S E \mathrm{SSE} SSE）接近于 0 0 0，拟合效果越好；对于其它非线性函数， S S E \mathrm{SSE} SSE 值越低拟合效果越好。综上所述，多项式中 D e g r e e \mathrm {Degree} Degree 为 3 3 3 与插值逼近拟合效果最好，但同时我们要考虑到函数的形式越简单越好，综合以上的拟合结果，我们最终认为 D e g r e e \mathrm {Degree} Degree 为 1 1 1 的 p o l y n o m i a l \mathrm{polynomial} polynomial 函数的拟合最为合适
步骤及代码
%% 预处理
load data2.mat;
year = data2(:,1);
population = data2(:,2);
% plot(year,population,'o') % 散点图
cftool
[fitresult, gof] = createFit(year, population); % cftool 的 Genarate Code 导入
t = 2009:2020;
k = 702.4;
b = -1.278e+06;
%% 最小二乘法 求法一：匿名函数
f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2009,2020]);
hold on
plot(year,population,'o') % 预测图
%% 最小二乘法 求法二：结合函数
predictions = k.*t+b;
plot(year,population,'o',t,predictions,'-') % 预测图
%% 求解其他拟合函数
...
关于使用拟合法的补充
① 不要把 拟合法 写进关键词中
国奖论文几乎没有把拟合法放进关键词中的，因为拟合法是作为一种方法，用于辅助，而不是一种模型，所以尽量不要放进关键词中
② 尽量用较为复杂的 拟合法
凡是国奖的论文，拟合法都没那么简单，有的用 SAS 软件拟合（软件），有的用高斯拟合（拟合函数），有的用三维空间拟合（创新方法），且原理都比较高深 （装B ） ，所以我们要根据建立的模型找出突破点来复杂化拟合法，但具体使用的拟合曲线还得视题目而定
拟合法的评估
拟合法 的优点：
它能清晰的表明自变量和因变量之间的显著关系、多个自变量对一个因变量的影响强度
拟合法 的缺点：
它只是一种推测，这影响了因子的多样性和某些因子的不可测性，使得其在某些情况下受到限制