【线性代数】矩阵的零空间

矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。
零空间的求法:对矩阵A进行消元求得主变量和自由变量;给自由变量赋值得到特解;对特解进行线性组合得到零空间。

假设矩阵如下:

【线性代数】矩阵的零空间_第1张图片

对矩阵A进行高斯消元得到上三角矩阵U,继续化简得到最简矩阵R:

【线性代数】矩阵的零空间_第2张图片

由于方程Ax=0的右侧是零向量,所以只对矩阵A进行消元不会影响解,因此不需要增广矩阵,所以有:


从上面的高斯消元的结果可以看出,矩阵A的秩为2,其中第1,3列为主元列,2,4列为自由列,对应于方程主来说,形式转变如下:

【线性代数】矩阵的零空间_第3张图片

从上式可以看出,x2,x4是自由变量,我们可以随意赋值,x2=0,x4=1;x2=1,x4=0可以分别得到两个特解(几个自由变量就有几个特解):

【线性代数】矩阵的零空间_第4张图片

然后我们将两组特解进行线性组合就得到了矩阵A的零空间:

【线性代数】矩阵的零空间_第5张图片

上面我们从数值解的角度描述了矩阵零空间的求法,下面从公式角度分析:
上面我们经过消元( 行变换,不改变行空间和零空间,只改变列空间)得到了最简形式R。我们将R经过列变换得到如下矩阵:
【线性代数】矩阵的零空间_第6张图片

我们可以对方程式作如下变形:

【线性代数】矩阵的零空间_第7张图片

【线性代数】矩阵的零空间_第8张图片

我们之所以进行上述变换,是为了有更好的表示形式(不进行列变换也行,但是要记住哪一列是单位矩阵I中的,哪一列是自由变量矩阵F中的):

【线性代数】矩阵的零空间_第9张图片

【线性代数】矩阵的零空间_第10张图片

这样我们代入方程式可以得到零空间矩阵:

【线性代数】矩阵的零空间_第11张图片

从上面的推导可以看出,得到的零空间矩阵的每一列就是我们前面的特解(注意要变换顺序!交换第2,3行,结果便和前面相同)。因此,我们可以从通过消元法得到最简式R,然后就可以直接得到零空间矩阵,则 零空间就是零空间矩阵各列向量的线性组合,而不需要像前面那样先给x2,x4赋值,然后回代到方程中得到两个特解,从而得到矩阵的零空间。

下面再举一例:
【线性代数】矩阵的零空间_第12张图片

由于R本来就具有很好的形式,就不用进行列变换了:

【线性代数】矩阵的零空间_第13张图片

于是通过解方程得到零空间矩阵:

【线性代数】矩阵的零空间_第14张图片

注:最简矩阵R和零空间矩阵x在MATLAB中可以分别用命令rref(A),null(A,'r')得到



原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/40039373

作者:nineheadedbird







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