离散数学笔记一

第一章 命题逻辑的基本概念

1.1命题与联结词

（1） 命题：第一，命题必须是陈述句，第二，命题必须有唯一真值，即，要么是真，要么为假。真值为真的成为真命题，真值为假的为假命题。

（2） 简单（原子）命题：不能分解成更简单命题的命题成为原子命题，一般用小写字母表示，比如q，p。

（3） 复合命题：由多个简单命题构成叫复合命题。

（4） 命题的基本联结词：与或非。

（5） 命题的蕴含联结词与蕴含式：设p,q为两个命题，复合命题“如果p，则q”成为p与q的蕴含式，记做p->q,并称p是蕴含式的前件，q为蕴含式的后件。->成为蕴含联结词，并且规定p->q为假当且仅当p为真，q为假。对于这种蕴含联结词的描述，只要q，就q；因为p，所以q；p仅当q；只有q才p；除非q才p；除非q，否则非p等等，表示同样的含义，都表示q是p的必要条件，即p->q。 可以这么理解后面那几个，因为p能推出q，所以p的能力大一些，要想满足p，只能先满足q，所以会有只有q才p，或者除非q才p。这个公式等价于非p或q 

（6） 命题的等价联结词与等价式：设p，q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记做p<->q，<->称作等价联结词。规定p<->q为真当且仅当p与q同时为真或者同时为假。这种逻辑关系成p与q护卫充分必要条件。p<->q的等价式为： （非p或q）且（非q或p）。

1.2命题公式及其赋值

（1） 命题常项或者命题常元：如果一个简单命题的真值是确定的，那么就称作命题常项或命题常元。

（2） 命题变项或者命题变元：如果一个变元真值取1或者0，那么就称作命题变项或者命题变元。命题变项不是命题，可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句。和前面的原子命题一样，也是用小写字母表示，比如q，p。

（3） 合式公式/命题公式/命题形式/公式：将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系联结起来的符号串称为合适公式，一般用大写字母表示，定义如下图

对于定义1.6的解释：定义中引进了A，B等符号，用他们表示任意的合式公式，称作 元语言符号。而p，q之类的称作对象语言符号。

（4） 公式层次的定义：

（5） 赋值/解释/成真赋值/成假赋值：设p1,p2,p3......pn是出现在公式A中的全部命题变项，给它们个指定一个真值，成为对A的一个赋值或者解释。若指定的一组值使A为1，称这组值为A的成真赋值；若使A为0，则称这组值为A的成假赋值。

（6） 真值表：将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。一般A如果有n个命题变项，那么会有2的n次方个不同的赋值情况。

（7） 重言式（永真式）/矛盾式（永假式）：设A为任一命题公式，若A在它的各种赋值下均为真，则称A是永真式或者重言式；如果A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛盾式或者永假式。若A不是矛盾式，则称A是可满足式。

（8） 哑元：设公式A，B共含有命题变项p1,p2,.....pn，而A或者B不全含这些命题变项，比如A中不含pi，pi+1等等，那么这些命题就是公式A的哑元。