偏微分方程(Partial Differential Equation II)

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偏微分方程(Partial Differential Equation I)
偏微分方程(Partial Differential Equation II)
偏微分方程(Partial Differential Equation III)
偏微分方程(Partial Differential Equation IV)

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参考文献：

《数学物理方程》| 季孝达
《数学物理方法》| 吴崇试
《数学物理方法》| 梁昆淼
MOOC北京大学《数学物理方法》| 吴崇试 、高春媛

正交曲面坐标系下的分离变量

上章只是讨论了用分离变量法解决直角坐标系中的各种定解问题，但实际中的边界是多种多样的，坐标系参照问题中的边界形状来选择，可以方便的解决相应的本征值问题。

平面极坐标系 $(r,\varphi )$
$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \varphi \\ y=r\sin \varphi \end{array}$$

拉普拉斯算符
$$\begin{array}{rl}\Delta & =\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\\ & =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\end{array}$$
三维柱坐标系 $(r,\varphi ,z)$
$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \varphi \\ y=r\sin \varphi \\ z=z\end{array}$$

拉普拉斯算符
$$\begin{array}{rl}\Delta & =\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\\ & =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\end{array}$$
三维球坐标系 $(r,\theta ,\varphi )$
$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \varphi \\ y=r\sin \theta \sin \varphi \\ z=r\cos \theta \end{array}$$

拉普拉斯算符
$$\begin{array}{rl}\Delta & =\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{\cos \theta }{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\\ & =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\end{array}$$

三维空间拉普拉斯方程
$$\Delta =u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$$
(1) 球坐标系
$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}=0$$
令 $u(r,\theta ,\varphi )=R(r)S(\theta ,\varphi )$ 带入方程分离变量，可得到
$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=-\frac{1}{S\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial S}{\partial \theta }\right)-\frac{1}{S{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}S}{\partial {\varphi }^2}=\mu$$
于是得到两个方程
$$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)-\mu R=0$$

$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial S}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}S}{\partial {\varphi }^2}+\mu S=0$$

第一个常微分方程为欧拉方程，此方程通解为 （取 $\mu =m^2$ ）
$$R=\{\begin{array}{ll}{C}_0+D_0\ln r& (m=0)\\ C_m{r}^m+D_m\frac{1}{r^m}& (m\ne 0)\end{array}$$
再令 $S(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$ 进一步分离变量，得到
$$\frac{\sin \theta }{\Theta }\frac{d}{d\theta }\left(\sin \theta \frac{d\Theta }{d\theta }\right)+\mu {\sin }^2\theta =-\frac{1}{\Phi }\frac{d^2\Phi }{d{\varphi }^2}=\lambda$$
同样分解为两个常微分方程
$${\Phi }^{\prime \prime }+\lambda \Phi =0\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

$$\sin \theta \frac{d}{d\theta }\left(\sin \theta \frac{d\Theta }{d\theta }\right)+(\mu {\sin }^2\theta -\lambda )\Theta =0\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

常微分方程 (1.1) 与隐藏的自然周期条件构成本征值问题。易求得本征值是
$$\lambda =m^2,(m=0,1,2,\cdots )$$
本征函数为
$$\Phi (\varphi )=A\cos m\varphi +B\sin m\varphi$$
将本征值带入方程 1.2) ，并做转换 令 $x=\cos \theta$ ，常数 $\mu =l(l+1)$ 可得到
$$(1-x^2)\frac{d^2\Theta }{d{x}^2}-2x\frac{d\Theta }{dx}+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\Theta =0$$
这叫做 $l$ 阶连带勒让德方程 (Legendre)。其 $m=0$ 的特例叫做勒让德方程。

(2) 柱坐标系
$$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$
令 $u(r,\varphi ,z)=R(r)\Phi (\varphi )Z(z)$ 带入方程分离变量，可得到
$$\frac{r^2}{R}{R}^{\prime \prime }+\frac{r}{R}{R}^{\prime }+r^2\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}=-\frac{{\Phi }^{\prime \prime }}{\Phi }=\lambda$$
于是分解为两个方程
$${\Phi }^{\prime \prime }+\lambda \Phi =0\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

$$\frac{r^2}{R}{R}^{\prime \prime }+\frac{r}{R}{R}^{\prime }+r^2\frac{Z^{\prime \prime }}{Z}=\lambda \text{\hspace{1em}(1.4)}$$

方程 (1.4) 同样分解为两个常微分方程
$$Z^{\prime \prime }+\mu Z=0\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

$$R^{\prime \prime }+\frac{1}{r}{R}^{\prime }-(\mu +\frac{\lambda }{r^2})R=0\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

常微分方程 (1.3) 与隐藏的自然周期条件构成本征值问题。易求得本征值是
$$\lambda =m^2,(m=0,1,2,\cdots )$$
本征函数为
$$\Phi (\varphi )=A\cos m\varphi +B\sin m\varphi$$
一般，圆柱区域上下底面齐次边界条件或圆柱侧面齐次边界条件分别与 (1.5) 和 (1.6) 构成本征值问题。
方程 (1.5) 的通解为
$$Z=\{\begin{array}{ll}C{e}^{\sqrt{-\mu }z}+D{e}^{-\sqrt{-\mu }z}& (\mu <0)\\ C+Dz& (\mu =0)\\ C\cos \sqrt{\mu }z+D\sin \sqrt{\mu }z& (\mu >0)\end{array}$$
对于方程 (1.6) 分为三种情形
(1) 当 $\mu =0$ ，方程为欧拉方程，通解为
$$R=\{\begin{array}{ll}E+F\ln r& (m=0)\\ E{r}^m+\frac{F}{r^m}& (m=1,2,\cdots )\end{array}$$
(2) 当 $\mu <0$ 取 $\mu =-{\nu }^2,x=\nu r$ 得到 $m$ 阶贝塞尔方程 (Bessel)
$$x^2\frac{d^{2}R}{d{x}^2}+x\frac{dR}{dx}+(x^2-m^2)R=0$$
(3) 当 $\mu >0$ 取 $x=\sqrt{\mu }r$ 得到 $m$ 阶虚宗量贝塞尔方程
$$x^2\frac{d^{2}R}{d{x}^2}+x\frac{dR}{dx}-(x^2+m^2)R=0$$
波动方程
$$u_{tt}-a^2\Delta u=0$$
分离时间变量 $t$ 和空间变量 $\mathrm{r}$ ，令 $u(\mathrm{r},t)=T(t)v(\mathrm{r})$ 带入方程得到
$$\frac{T^{\prime \prime }}{a^{2}T}=\frac{\Delta v}{v}=-k^2$$
于是分解为两个方程
$$T^{\prime \prime }+k^2{a}^{2}T=0\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

$$\Delta v+k^{2}v=0\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

常微分方程 (1.7) 为已讨论过的欧拉方程，偏微分方程 (1.8) 叫做亥姆霍兹方程。

热传导方程
$$u_t-a^2\Delta u=0$$
分离时间变量 $t$ 和空间变量 $\mathrm{r}$ ，令 $u(\mathrm{r},t)=T(t)v(\mathrm{r})$ 带入方程得到
$$\frac{T^{\prime }}{a^{2}T}=\frac{\Delta v}{v}=-k^2$$
于是分解为两个方程
$$T^{\prime }+k^2{a}^{2}T=0\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

$$\Delta v+k^{2}v=0\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

常微分方程 (1.9) 为已讨论过的欧拉方程，偏微分方程 (1.10) 也是亥姆霍兹方程。

亥姆霍兹方程 (Helmholtz)
$$\Delta v+k^{2}v=0$$
(1) 球坐标系
$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial v}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {\varphi }^2}+k^{2}v=0$$
令 $v(r,\theta ,\varphi )=R(r)S(\theta ,\varphi )$ 带入方程分离变量，可得到
$$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+(k^2{r}^2-\mu )R=0\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial S}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}S}{\partial {\varphi }^2}+\mu S=0\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

再令 $S(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$ 进一步分离变量，可得到
$${\Phi }^{\prime \prime }+\lambda \Phi =0$$

$$\sin \theta \frac{d}{d\theta }\left(\sin \theta \frac{d\Theta }{d\theta }\right)+(\mu {\sin }^2\theta -\lambda )\Theta =0$$

可以像上节那样进一步得到
$$\Phi (\varphi )=A\cos m\varphi +B\sin m\varphi (m=0,1,2,\cdots )$$
和 $l$ 阶连带勒让德方程
$$(1-x^2)\frac{d^2\Theta }{d{x}^2}-2x\frac{d\Theta }{dx}+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\Theta =0$$
其中 $x=\cos \theta$ ，常数 $\mu =l(l+1)$ 。这时，方程 (1.11) 可成为
$$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+[k^2{r}^2-l(l+1)]R=0$$
叫做 $l$ 阶球贝塞尔方程。

(2) 柱坐标系
$$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial v}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial z^2}+k^{2}v=0$$
令 $v(r,\varphi ,z)=R(r)\Phi (\varphi )Z(z)$ 一步步分离变量，可得到
$${\Phi }^{\prime \prime }+\lambda \Phi =0\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

$$Z^{\prime \prime }+\mu Z=0\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

$$R^{\prime \prime }+\frac{1}{r}{R}^{\prime }+(k^2-\mu -\frac{\lambda }{r^2})R=0\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

圆柱区域上下底面齐次边界条件或圆柱侧面齐次边界条件分别与 (1.13) 和 (1.14) 构成本征值问题。
取 $x=\sqrt{k^2-\mu }r$ ，方程 (1.15) 如上节那样变为 贝塞尔方程 。

球函数

勒让德方程的解

求解勒让德方程(Legendre equation)
$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+l(l+1)y=0\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中 $l$ 为实参数，该方程的任意非零解称为勒让德函数。由于方程是二阶变系数常微分方程，可采用幂级数求解。

易知 $x=0$ 是方程的常点¹，当 $|x|<1$ 时，方程有幂级数解
$$y=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

如果系数 $p(x),q(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域是解析的，则点 $x_0$ 叫做方程的常点；如果 $x_0$ 是 $p(x)$ 或 $q(x)$ 的奇点，则点 $x_0$ 叫做方程的奇点。

带入勒让德方程逐项微分整理合并，可以得到
$$\sum _{k=0}^{\infty }\{(k+2)(k+1)c_{k+2}-[k(k+1)-l(l+1)]c_k\}{x}^k=0$$
根据泰勒展开的唯一性可以得到
$$(k+2)(k+1)c_{k+2}-[k(k+1)-l(l+1)]c_k=0$$
即获得递推公式
$$c_{k+2}=\frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+2)(k+1)}{c}_k\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
反复利用递推关系式就可以得到系数
$$\{\begin{array}{l}{c}_{2k}=\frac{c_0}{(2k)!}(2k-l-2)(2k-l-4)\cdots (-l)(2k+l-1)(2k+l-3)\cdots (l+1)\\ c_{2k+1}=\frac{c_1}{(2k+1)!}(2k-l-1)(2k-l-3)\cdots (-l+1)(2k+l)(2k+l-2)\cdots (l+2)\end{array}$$
其中 $c_0,c_1$ 是任意常数。利用 $\Gamma$ 函数²的性质，上式可化为

$$\{\begin{array}{l}{c}_{2k}=c_0\frac{2^{2k}}{(2k)!}\frac{\Gamma (k-\frac{l}{2})\Gamma (k+\frac{l+1}{2})}{\Gamma (-\frac{l}{2})\Gamma (\frac{l+1}{2})}\\ c_{2k+1}=c_1\frac{2^{2k}}{(2k+1)!}\frac{\Gamma (k-\frac{l-1}{2})\Gamma (k+1+\frac{l}{2})}{\Gamma (k-\frac{l-1}{2})\Gamma (1+\frac{l}{2})}\end{array}$$
此时，分别取 $c_0=1,c_1=0$ 和 $c_0=0,c_1=1$ ，我们可以获得两个级数解
$$y_1(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_{2k}{x}^{2k}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

$$y_2(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_{2k+1}{x}^{2k+1}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

容易证明 $y_1(x),y_2(x)$ 线性无关，且在 $x\in (-1,1)$ 收敛。所以，勒让德方程的解就是
$$y(x)=C_0{y}_1(x)+C_1{y}_2(x)$$

其中 $C_0,C_1$ 为任意常数。

勒让德函数

勒让德多项式：观察上节级数 $y_1(x),y_2(x)$ ，容易发现，如果参数 $l$ 是某个偶数 ，$l=2n$（$n$是正整数），$y_1(x)$ 则直到 $x^{2n}$ 为止，因为从 $c_{2n+2}$ 开始都含有因子 $(2n-l)$ 从而都为零。 $y_1(x)$ 化为 $2n$ 次多项式，并且只含偶次幂，而 $y_2(x)$ 仍然是无穷级数。同理，当 $l$ 是奇数 ，$l=2n+1$（$n$是零或正整数）， $y_2(x)$ 化为 $2n+1$ 次多项式，并且只含奇次幂，而 $y_1(x)$ 仍然是无穷级数。
下面给出 $y_1(x)$ 或 $y_2(x)$ 为多项式时的表达式，为了简洁，通常取最高次项的系数（$l$为零或正整数）
$$c_l=\frac{(2l)!}{2^l(l!{)}^2}$$
反用系数递推公式 (1.3)
$$c_k=\frac{(k+2)(k+1)}{(k-l)(k+l+1)}{c}_{k+2}$$
就可以把其他系数一一推算出来，一般的有
$$c_{l-2n}=(-1{)}^n\frac{(2l-2n)!}{n!2^l(l-n)!(l-2n)!}$$
这样求得勒让德方程 (1.1) 的解称为 $l$ 阶勒让德多项式，或第一类勒让德函数。
$$P_l(x)=\sum _{n=0}^{[l/2]}(-1{)}^n\frac{(2l-2n)!}{n!2^l(l-n)!(l-2n)!}{x}^{l-2n}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
其中 $l$为零或正整数，记号 $[l/2]$ 表示不超过 $l/2$ 的最大整数，即
$$[l/2]=\{\begin{array}{ll}l/2& (l为偶数)\\ (l-1)/2& (l为奇数)\end{array}$$

勒让德多项式的微分表示
$$P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{d{x}^l}(x^2-1{)}^l\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
此式称为罗德里格斯表达式(Rodrigues)。由表达式不难看出勒让德多项式的奇偶性
$$P_l(-x)=(-1{)}^l{P}_l(x)$$

勒让德多项式的积分表示：按照柯西公式，微分表示可写成路径积分
$$P_l(x)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{1}{2^l}{\oint }_C\frac{(z^2-1{)}^l}{(z-x{)}^{l+1}}dz\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
其中 $C$ 为 $z$ 平面上围绕 $z=x$ 点任一闭合回路，这叫做施列夫利积分 (SchlMli)。
还可以进一步表示为定积分，为此取 $C$ 为圆周，圆心在 $z=x$ ，半径为 $\sqrt{x^2-1}$ 。在圆周 $C$ 上 $z-x=\sqrt{x^2-1}{e}^{\mathrm{i}\psi },dz=\mathrm{i}\sqrt{x^2-1}{e}^{\mathrm{i}\psi }d\psi$ ，所以 (2.3) 式成为
$$P_l(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }[x+\mathrm{i}\sqrt{1-x^2}\cos \psi {]}^{l}d\psi$$
这叫做拉普拉斯积分，如果从 $x$ 变换回变量 $\theta ,x=\cos \theta$ ，则
$$P_l(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }[\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \cos \psi {]}^{l}d\psi \text{\hspace{1em}(2.4)}$$
从上式很容易看出 $P_l(1)=1,P_l(-1)=(-1{)}^l$ 从而得到
$$|P_l(x)|⩽1,(-1⩽x⩽1)$$

第二类勒让德函数：以上讨论知道，当 $l$为零或正整数时，$y_1,y_2$ 中有一个是勒让德多项式，而另一个仍是无穷级数，此时勒让德方程的一般解为
$$y=C_1{P}_l(x)+C_2{Q}_l(x)$$
其中 $Q_l(x)$ 为由 $P_l(x)$ 导出具有统一形式的线性无关特解
$$Q_l(x)=P_l(x)\int \frac{1}{(1-x^2)P_l^2(x)}dx\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
可计算得 $Q_0(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},Q_1(x)=\frac{x}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}-1,\cdots$
一般表达式为
$$Q_l(x)=\frac{1}{2}{P}_l(x)\ln \frac{1+x}{1-x}-\sum _{n=1}^{[l/2]}\frac{2l-4n+3}{(2n-1)(l-n+1)}{P}_{l-2n+1}(x)\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

勒让德多项式的正交性：在区间 $(-1,1)$ 上正交
$${\int }_{-1}^1{P}_l(x)P_k(x)dx=0(l\ne k)$$
如果从 $x$ 变换回变量 $\theta ,x=\cos \theta$ ，则
$${\int }_0^{\pi }{P}_l(\cos \theta )P_k(\cos \theta )\sin \theta d\theta =0(l\ne k)$$

勒让德多项式的模
$$\Vert P_l(x）{\Vert }^2={\int }_{-1}^1{P}_l^2(x)dx$$
可计算得
$$\Vert P_l(x）\Vert =\sqrt{\frac{2}{2l+1}}(l=0,1,2,\cdots )\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

傅里叶-勒让德级数：设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上满足狄利克雷条件，则 $f(x)$ 在连续点处展开为
$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{P}_k(x)$$
其中系数
$$c_k=\frac{2k+1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_k(x)dx$$
在物理上常取 $x=\cos \theta (0⩽\theta ⩽\pi )$ ，则
$$f(\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{P}_k(\cos \theta )$$
其中系数
$$c_k=\frac{2k+1}{2}{\int }_0^{\pi }f(\theta )P_k(\cos \theta )\sin \theta d\theta$$

勒让德多项式的生成函数：首先由电荷势理论引入
$$\frac{1}{\sqrt{R^2-2Rr\cos \theta +r^2}}=\{\begin{array}{ll}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{r^k}{R^{k+1}}{P}_k(\cos \theta )& (r<R)\\ \sum _{k=0}^{\infty }\frac{R^k}{r^{k+1}}{P}_k(\cos \theta )& (r>R)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

勒让德多项式的递推关系
(1) 递推公式
$$(k+1)P_{k+1}(x)-(2k+1)x{P}_k(x)+k{P}_{k-1}(x)=0\text{\hspace{1em}(2.9)}$$
(2) 通过微分还可以获得许多其他类别的递推关系
$$\begin{gathered} P_k^{\prime }(x)-x{P}_{k-1}^{\prime }(x)=k{P}_{k-1}(x) \\ {P}_k^{\prime }(x)-P_{k-1}^{\prime }(x)=k{P}_k(x) \\ (1-x^2)P_k^{\prime }(x)=k{P}_{k-1}^{\prime }(x)-kx{P}_k(x) \\ (1-x^2)P_{k-1}^{\prime }(x)=kx{P}_{k-1}(x)-k{P}_k^{\prime }(x) \end{gathered}$$

勒让德多项式的奇偶性：当 $l$ 为偶数时，$P_l(x)$ 为偶函数；当 $l$ 为奇数时，$P_l(x)$ 为奇函数
$$P_l(-x)=(-1{)}^l{P}_l(x)\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

连带勒让德函数

连带勒让德方程
$$(1-x^2)\frac{d^2\Theta }{d{x}^2}-2x\frac{d\Theta }{dx}+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\Theta =0\text{\hspace{1em}(3.1)}$$
为了寻找连带勒让德方程和勒让德方程之间的联系，通常作代换
$$\Theta =(1-x^2{)}^{m/2}y(x)$$
则方程 (3.1) 可化为
$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2(m+1)x{y}^{\prime }+[l(l+1)-m(m+1)]y=0\text{\hspace{1em}(3.2)}$$
事实上，上述微分方程 (3.2) 就是勒让德方程求导 $m$ 次得到的方程，利用莱布尼茨求导公式
$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{\complement }_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$
将勒让德方程
$$(1-x^2)P^{\prime \prime }-2x{P}^{\prime }+l(l+1)P=0$$
对 $x$ 求导 $m$ 次得到
$$(1-x^2)(P^{(m)}{)}^{\prime \prime }-2x(P^{(m)}{)}^{\prime }+[l(l+1)-m(m+1)]P^{(m)}=0$$
这正是方程 (3.2) 的形式，因此方程 (3.2) 的解 $y(x)$ 正是勒让德方程解 $P(x)$ 的 $m$ 阶导数。方程 (3.2) 与自然边界条件构成本征值问题，本征值是 $l(l+1)$ ，本征函数则是勒让德多项式 $P_l(x)$ 的 $m$ 阶导数，即
$$y(x)=P_l^{(m)}(x)$$
将此式代回可得到 $\Theta =(1-x^2{)}^{m/2}{P}_l^{(m)}(x)$ ，通常记作
$$P_l^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}{P}_l^{(m)}(x)\text{\hspace{1em}(3.3)}$$
这称为连带勒让德多项式。由于 $P_l(x)$ 是 $l$ 次多项式，最多只能求导 $l$ 次，超过后就得到零，因此必须有 $l⩾m$ 。

连带勒让德多项式的微分表示
$$P_l^m(x)=\frac{(1-x^2{)}^{m/2}}{2^{l}l!}\frac{d^{l+m}}{d{x}^{l+m}}(x^2-1{)}^l\text{\hspace{1em}(3.4)}$$
此式称为罗德里格斯表达式(Rodrigues)。

连带勒让德多项式的积分表示：按照柯西公式，微分表示可写成路径积分
$$P_l^m(x)=\frac{(1-x^2{)}^{m/2}}{2^l}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{(l+m)!}{l!}{\oint }_C\frac{(z^2-1{)}^l}{(z-x{)}^{l+m+1}}dz\text{\hspace{1em}(3.5)}$$
其中 $C$ 为 $z$ 平面上围绕 $z=x$ 点任一闭合回路，这叫做施列夫利积分 (SchlMli)。
还可以进一步表示为
$$P_l^m(x)=\frac{{\mathrm{i}}^m}{2\pi }\frac{(l+m)!}{l!}{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-\mathrm{i}m\psi }[x+\frac{1}{2}\sqrt{x^2-1}(e^{-\mathrm{i}\psi }+e^{\mathrm{i}\psi }){]}^{l}d\psi$$
或变为拉普拉斯积分 $(x=\cos \theta )$
$$P_l^m(x)=\frac{{\mathrm{i}}^m}{2\pi }\frac{(l+m)!}{l!}{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-\mathrm{i}m\psi }[\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \cos \psi {]}^{l}d\psi \text{\hspace{1em}(3.6)}$$
连带勒让德多项式的正交性：在区间 $(-1,1)$ 上正交
$${\int }_{-1}^1{P}_l^m(x)P_k^m(x)dx=0(l\ne k)$$
如果从 $x$ 变换回变量 $\theta ,x=\cos \theta$ ，则
$${\int }_0^{\pi }{P}_l^m(\cos \theta )P_k^m(\cos \theta )\sin \theta d\theta =0(l\ne k)$$

连带勒让德多项式的模
$$\Vert P_l^m(x）{\Vert }^2={\int }_{-1}^1[P_l^m(x){]}^{2}dx$$
可计算得
$$\Vert P_l^m(x）\Vert =\sqrt{\frac{2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}}(l=0,1,2,\cdots )\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

连带傅里叶-勒让德级数：设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上满足狄利克雷条件，则 $f(x)$ 在连续点处展开为
$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{P}_k^m(x)$$
其中系数
$$c_k=\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_k^m(x)dx$$
在物理上常取 $x=\cos \theta (0⩽\theta ⩽\pi )$ ，则
$$f(\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{P}_k^m(\cos \theta )$$
其中系数
$$c_k=\frac{(2l+1)(l-m)!}{2(l+m)!}{\int }_0^{\pi }f(\theta )P_k^m(\cos \theta )\sin \theta d\theta$$

连带勒让德多项式的递推关系
$$(k-m+1)P_{k+1}^m(x)-(2k+1)x{P}_k^m(x)+(k+m)P_{k-1}^m(x)=0\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

球谐函数

球函数：我们回到拉普拉斯变换在球坐标下的分离变量，我们曾得到方程
$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial S}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}S}{\partial {\varphi }^2}+\mu S=0\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
称为球函数方程。令 $S(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$ 进一步分离变量，可获得其解
$$\begin{array}{rl}{S}_l^m(\theta ,\varphi )& =P_l^m(\cos \theta )(A_l^m\cos m\varphi +B_l^m\sin m\varphi )\\ & =P_l^m(\cos \theta )\left\{\begin{array}{c}\sin m\varphi \\ \cos m\varphi \end{array}\right\},\end{array}(m=0,1,2,\cdots ,l)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
称为 $l$ 阶球谐函数 (Spherical harmonics) 。其中常数 $\mu =l(l+1)$ ，符号 $\{\}$ 表示其中列举的函数是线性独立的，可任取其一。

线性独立的 $l$ 阶球函数共有 $2l+1$ 个，这是因为对应于 $m=0$ ，只有一个球函数 $P_l(\cos \theta )$ ，对应于 $m=1,2,\cdots ,l$ ，则各有两个 $P_l^m(\cos \theta )\sin m\varphi$ 和 $P_l^m(\cos \theta )\cos m\varphi$。

复数形式的球函数：根据欧拉公式 (4.2) 可以完全写为
$$S_l^m(\theta ,\varphi )=P_l^{|m|}(\cos \theta )e^{\mathrm{i}m\varphi }(m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\pm l)\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
球函数正交关系：任意两个球函数 (4.2) 在球面 $S(0⩽\theta ⩽\pi ,0⩽\varphi ⩽2\pi )$ 上正交
$${\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{S}_l^m(\theta ,\varphi )S_k^n(\theta ,\varphi )\sin \theta d\theta d\varphi =0(m\ne n\text{ or }l\ne k)$$
球函数的模：
$$\Vert S_l^m(\theta ,\varphi ){\Vert }^2={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }[S_l^m(\theta ,\varphi ){]}^2\sin \theta d\theta d\varphi$$
计算得
$$\Vert S_l^m(\theta ,\varphi )\Vert =\sqrt{\frac{2\pi {\delta }_m(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
其中 ${\delta }_m=\{\begin{array}{ll}2& (m=0)\\ 1& (m=1,2,\cdots )\end{array}$

复数形式的模可写成
$$\Vert S_l^m(\theta ,\varphi )\Vert =\sqrt{\frac{4\pi (l+|m|)!}{(2l+1)(l-|m|)!}}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$
广义傅里叶级数：定义在球面 $S$ 上的函数 $f(\theta ,\varphi )$ 以球函数为基的二重傅里叶展开为
$$f(\theta ,\varphi )=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{l=m}^{\infty }[A_l^m\cos m\varphi +B_l^m\sin m\varphi ]P_l^m(\cos \theta )\text{\hspace{1em}(4.6)}$$
其中系数为
$$A_l^m=\frac{(2l+1)(l-m)!}{2\pi {\delta }_m(l+m)!}{\int }_0^{\pi }{\int }_0$$